Giải thích các bước giải:
Bài này cần bổ sung thêm điều kiện x, y, z > 0 nhé.
Không mất tính tổng quát ta giả sử \(x\geq y\geq z> 0\), như vậy \(x-z\geq 0\). Nhân hai vế của bất đẳng thức \(y\geq z\) với \(x-z\geq 0\), ta được:
\(y\left ( x-z \right )\geq z\left ( x-z \right )\Leftrightarrow xy-yz+z^{2}\geq xz\)
\(\Rightarrow \frac{y}{z}-\frac{y}{x}+\frac{z}{x}\geq 1\) (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-sy cho 2 số dương \(\frac{x}{y}\) và \(\frac{y}{x}\) ta có:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \geq 2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\)
Cộng theo từng vế của (1) với bất đẳng thức \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2\), ta được:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \geq 3\)
Theo bài ra:
\(\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\)
\(\Leftrightarrow \left (\frac{x}{y} -1 \right )^{2}+\left ( \frac{y}{z} -1\right )^{2}+\left ( \frac{z}{x} -1\right )^{2}+\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \right )\geq 3\).
Theo chứng minh trên:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 3\)
Suy ra bất đẳng thức phải chứng minh luôn đúng.
