Đáp án: \(x=2;y=z=3\)
Giải thích các bước giải:
\(x^y+1=z^2\) \(\Rightarrow z^2> 5\) với x, y là các số nguyên tố từ 2, 3, 5, ...
Suy ra: \(z>2\)
\(z\) là số nguyên tố nên z là số lẻ
\(\Rightarrow x^y=z^2-1\) là số chẵn \(\Rightarrow x=2\)
\(2^{y}+1=z^2\)
+ \(y=2\Rightarrow z^2=5\) không có z nào thỏa mãn
+ \(y=3\Rightarrow z^2=9\), suy ra \(z=3\)
+ \(y> 3\) do y lẻ \(\Rightarrow y=2k+1\)
\(2^{2k+1}+1=2.2^{2k}+1=2.4^{k}+1\)
Do \(4^{k}\) chia cho \(3\) dư 1 nên \(2.4^{k}+1\) chia hết cho \(3\)
\(\Rightarrow z^2\) chia hết cho \(3\) , suy ra \(z\) chia hết cho 3 (loại do \(z\) là số nguyên tố)
Vậy \((x,y,z)=(2,3,3)\) là nghiệm duy nhất.
