Ta có A là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD)
Vậy góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) chính là góc giữa SB và BA.
Do đó
$\widehat{SBA} = 60^{\circ}$
Xét tam giác vuông SAB ta có
$SA = AB . \tan(SBA) = 2a\sqrt{3}$
Khi đó, sử dụng Pytago ta có
$SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = 4a$
Áp dụng hệ thức lượng ta có
$SA^2 = SH.SB$
Do đó $SH = 3a$
Vậy
$\dfrac{d(H, (SCD))}{d(B, (SCD))} = \dfrac{SH}{SB} = \dfrac{3}{4}$
Do đó
$d(H, (SCD)) = \dfrac{3}{4} d(B, (SCD))$
Lại có AB//CD nên
$d(B,(SCD)) = d(A, (SCD))$
Do tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên $CD \perp AD$.
Lại có $CD \perp SA$. Do đó $CD \perp (SAD)$
Hạ $AK \perp SD$. Suy ra $CD \perp AK$.
Vậy $AK \perp (SCD)$
Suy ra
$d(A, (SCD)) = AK$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SAD ta có
$\dfrac{1}{AK^2} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{AD^2}$
Vậy
$AK = \dfrac{2a\sqrt{39}}{13}$
Do đó
$d(H, (SCD)) = AK . \dfrac{3}{4} = \dfrac{3a\sqrt{39}}{26}$
