Câu 4
a) Do D là trung điểm AB nên AD = DB.
Mặt khác, do E đxung vs M qua D nên DM = DE.
Vậy tứ giác AEBM có tâm đối xứng là D. Vậy AEBM là hình bình hành.
Do M, D là trung điểm BC, AB nên MD là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra MD//CA.
Lại có $CA \perp AB$ nên $MD \perp AB$ hay $ME \perp AB$.
Xét hình bình hành AEBM có $ME \perp AB$.
Vậy AEBM là hình thoi.
b) Do MD là đường trung bình của tam giác ABC nên
$MD = \dfrac{1}{2} AC = \dfrac{1}{2} . 4 = 2$ (cm)
Lại có tứ giác AEBM là hình thoi nên AB giao ME tại trung điểm mỗi đường, lại có D là trung điểm AB. Suy ra D là trung điểm ME.
Vậy
$MD = DE = \dfrac{1}{2} ME$
Suy ra
$ME = 2 MD = 4$ (cm)
Vậy diện tích của tứ giác AEBM là
$S_{AEBM} = \dfrac{1}{2} . AB . ME = \dfrac{1}{2} . 4.3 = 6$ ($cm^2$).
Áp dụng Pytago trong tam giác MDA ta có
$MA^2 = MD^2 + DA^2=2^2 + (1,5)^2$
Vậy $MA = 2,5$ (cm)
Do đó chu vi của tứ giác AEBM là
$P_{AEBM} = 4.MA = 10$ (cm)
c) Ta có
$AC = 2 MD = ME$.
Vậy ME = AC.
Xét tứ giác ME//AC (cùng vuông góc với AB), ME = AC.
Do đó tứ giác MEAC là hình bình hành.
d) Do tứ giác MEAC là hình bình hành nên AM giao EC tại trung điểm mỗi đường.
Lại có I là trung điểm AM nên I là trung điểm EC.
Vậy E, I, C thẳng hàng.
