Khi cắt hình nón có chiều cao \(16 \,cm \) và đường kính đáy \(24 \,cm \) bởi một mặt phẳng song song với đường sinh của hình nón ta thu được thiết diện có diện tích lớn nhất gần với giá trị nào sau đây? A.\(170\) B.\(260\) C.\(294\) D.\(208\)
Đáp án đúng: D Giải chi tiết: Khi cắt hình nón bởi mặt phẳng song song với đường sinh của hình nón thì ta được thiết diện là một parabol. Giả sử thiết diện như hình vẽ. Khi đó ta luôn có \(AB \bot MH\). Kẻ \(HE//SA\) trong mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) Khi đó \(SA//\left( {HME} \right)\) Đặt \(BH = x\left( {0 < x < 24} \right)\) , ta có \(SA = \sqrt {S{O^2} + O{A^2}} = \sqrt {{{16}^2} + {{12}^2}} = 20\,cm\) Xét tam giác \(AMB\) vuông tại \(M\) có \(M{H^2} = AH.BH = x\left( {24 - x} \right) \Rightarrow MH = \sqrt {x\left( {24 - x} \right)} \) (hệ thức lượng trong tam giác vuông). Xét tam giác \(SAB\) có \(HE//SA \Rightarrow \dfrac{{BH}}{{AB}} = \dfrac{{HE}}{{SA}} \Leftrightarrow HE = \dfrac{{x.20}}{{24}} = \dfrac{5}{6}x\) Thiết diện parabol có chiều cao \(HE = \dfrac{5}{6}x\) và bán kính \(r = MH = x\left( {24 - x} \right)\) Diện tích thiết diện là \(S = \dfrac{4}{3}HE.MH = \dfrac{4}{3}.\dfrac{5}{6}x.\sqrt {x\left( {24 - x} \right)} = \dfrac{{10}}{9}\sqrt {x.x.x\left( {24 - x} \right)} \) \( = \dfrac{{10}}{{9\sqrt 3 }}\sqrt {x.x.x\left( {72 - 3x} \right)} \mathop \le \limits^{C\^o - si} \dfrac{{10}}{{9\sqrt 3 }}.\sqrt {{{\left( {\dfrac{{x + x + x + 72 - 3x}}{4}} \right)}^4}} \approx 207,8c{m^2}\) Dấu = xảy ra khi \(x = 72 - 3x \Leftrightarrow x = 18\,\,\left( {tm} \right)\) Vậy diện tích lớn nhất của thiết diện là \(S \approx 207,8c{m^2}.\) Chọn D.