Dãy số đã cho có $q = 3, d = -2$
Vậy ta đặt dãy $(v_n)$ sao cho
$u_n = v_n + \dfrac{d}{1-q} = v_n + \dfrac{-2}{1-3} = v_n + 1$
Khi đó
$u_1 = v_1 + 1 <-> v_1 = 3$
Khi đó, ta có
$u_{n+1} = 3u_n - 2$
$<-> v_{n+1}+1 = 3(v_n + 1) - 2$
$<-> v_{n+1} = 3v_n$
Vậy $v_n$ là một dãy số nhân với công bội là 3. Do đó
$v_n = v_1 . 3^{n-1} = 3 . 3^{n-1} = 3^{n}$
Do đó
$u_n = 3^n + 1$
Thật vậy, với $n = 1$ thì ta có
$u_1 = 3^1 + 1 = 4$
Giả sử công thức trên đúng đến $k = n$. Khi đó, ta cminh công thức trên đúng với $k =n+1$, tức là
$u_{n+1} = 3^{n+1} + 1$
Thật vậy, ta có
$u_{n+1} = 3.u_n-2$
$= 3.(3^n + 1) - 2$
$= 3.3^n + 1$
$= 3^{n+1}+1$
Vậy công thức tổng quát của dãy là
$u_n = 3^n + 1$
