Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:
\({3^{{x^2} + 2x + 1 - 2\left| {x - m} \right|}} = {\log _{{x^2} + 2x + 3}}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right) \Leftrightarrow {3^{{x^2} + 2x + 3 - \left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)}} = \dfrac{{\ln \left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)}}{{\ln \left( {{x^2} + 2x + 3} \right)}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{{3^{{x^2} + 2x + 3}}}}{{{3^{2\left| {x - m} \right| + 2}}}} = \dfrac{{\ln \left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)}}{{\ln \left( {{x^2} + 2x + 3} \right)}} \Leftrightarrow {3^{{x^2} + 2x + 3}}\ln \left( {{x^2} + 2x + 3} \right) = {3^{2\left| {x - m} \right| + 2}}\ln \left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)\) (*)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {3^t}.\ln t,\,\,\left( {t > 0} \right)\), ta có:
\(f'\left( t \right) = {3^t}.\ln 3.\ln t + {3^t}.\dfrac{1}{t} > 0,\,\,\forall t > 0 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Khi đó, phương trình (*)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 3 = 2\left| {x - m} \right| + 2 \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 = 2\left| {x - m} \right|\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2x + 1 = 2x - 2m\\{x^2} + 2x + 1 = - 2x + 2m\end{array} \right.\) (do \({x^2} + 2x + 1 \ge 0,\,\,\forall x\))
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = - 1 - 2m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\,\\{x^2} + 4x + 1 - 2m = 0,\,\,\left( {\Delta ' = 4 - \left( {1 - 2m} \right) = 3 + 2m} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Bảng xét dấu:
+) Nếu \(m > - \dfrac{1}{2}\) thì \( - 2m - 1 < 0\), phương trình (1) vô nghiệm
\( \Rightarrow \) Phương trình đã cho không thể có ba nghiệm \( \Rightarrow \) Loại
+) Nếu \(m = - \dfrac{1}{2}\) thì \((1) \Leftrightarrow x = 0\) và \((2) \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2 + \sqrt 2 \,\,(TM)\\x = - 2 - \sqrt 2 \,\,(TM)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \) Phương trình đã cho có ba nghiệm \( \Rightarrow m = - \dfrac{1}{2}\) thỏa mãn.
+) Nếu \( - \dfrac{3}{2} < m < - \dfrac{1}{2}\) thì (1) và (2) đều có hai nghiệm phân biệt
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = \pm \sqrt { - 1 - 2m} \)
Mà \({\left( {\sqrt { - 1 - 2m} } \right)^2} + 4\sqrt { - 1 - 2m} + 1 - 2m = 0 \Leftrightarrow \sqrt { - 1 - 2m} = m:\) vô lý , do \( - \dfrac{3}{2} < m < - \dfrac{1}{2}\)
\({\left( { - \sqrt { - 1 - 2m} } \right)^2} - 4\sqrt { - 1 - 2m} + 1 - 2m = 0 \Leftrightarrow \sqrt { - 1 - 2m} = - m \Leftrightarrow - 1 - 2m = {m^2} \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1\)
Vậy, với \(m = - 1\) thì phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm phân biệt \( \Rightarrow m = - 1\) thỏa mãn.
với \(m = \left( { - \dfrac{3}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right){\rm{\backslash }}\left\{ { - 1} \right\}\) phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt \( \Rightarrow \) Loại
+) Nếu \(m = - \dfrac{3}{2}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} = 2 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 \\\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = - 2\end{array} \right.\). Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt
\( \Rightarrow m = - \dfrac{3}{2}\) thỏa mãn.
+) Nếu \(m < - \dfrac{3}{2}\) thì \(\Delta ' < 0\), phương trình (2) vô nghiệm \( \Rightarrow \) Phương trình đã cho không thể có ba nghiệm
\( \Rightarrow \) Loại
Kết luận: Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(m \in \left\{ { - \dfrac{3}{2}; - 1; - \dfrac{1}{2}} \right\}\)
Tổng tất cả các giá trị của m là: \( - \dfrac{3}{2} - 1 - \dfrac{1}{2} = - 3\).
Chọn: C
