a) Để $d_1 // d_2$ thì hệ số góc của chúng phải bằng nhau. Do đó
$4m = 3m^2 + 1$
$\Leftrightarrow 3m^2 - 4m + 1 = 0$
$\Leftrightarrow (m-1)(3m-1) = 0$
Vậy $m = 1$ hoặc $m = \dfrac{1}{3}$
b) Để $d_1$ cắt $d_2$ thì chúng không song song với nhau. Do đó $m \neq 1$ và $m \neq \dfrac{1}{3}$.
Với $m = 2$ thì ta có
$d_1: y = 8x -7; d_2: y = 13x -5$
Xét ptrinh hoành độ giao điểm của $d_1$ và $d_2$
$8x - 7 = 13x - 5$
$\Leftrightarrow 5x = -2$
$\Leftrightarrow x = -\dfrac{2}{5}\Rightarrow y=8.\dfrac{-2}{5}-7=-\dfrac{51}{5}$
Vậy giao điểm của 2 đồ thị là $(-\dfrac{2}{5}, -\dfrac{51}{5})$
c) Xét đường thẳng $d_1$. Với $x = \dfrac{1}{4}$ thì ta có
$y = 4m . \dfrac{1}{4} - m - 5$
$\Leftrightarrow y = -5$
Vậy $d_1$ đi qua điểm $A(\dfrac{1}{4}, -5)$
Xét đường thẳng $d_2$. Với $x = -\dfrac{1}{3}$ thì ta có
$y = -\dfrac{1}{3} (3m^2+1) + m^2 - 9$
$\Leftrightarrow y = -\dfrac{28}{3}$
Vậy $d_2$ đi qua $B(-\dfrac{1}{3}, -\dfrac{28}{3})$
Do đó
$BA^2 = (-\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4})^2 + (-\dfrac{28}{3} + 5)^2$
$= \dfrac{2753}{144}$
Vậy $AB = \dfrac{\sqrt{2753}}{12}$
