Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:1. Tìm các giá trị nguyên của \(x,\,\,y\) thỏa mãn: \({x^2}{y^2} - 4{x^2}y + {y^3} + 4{x^2} - 3{y^2} + 1 = 0\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^2}{y^2} - 4{x^2}y + {y^3} + 4{x^2} - 3{y^2} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2}{y^2} - 4{x^2}y + 4{x^2}} \right) + {y^3} - 3{y^2} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {{y^2} - 4y + 4} \right) + y\left( {{y^2} - 4y + 4} \right) + {y^2} - 4y + 4 - 3 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}{\left( {y - 2} \right)^2} + y{\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 3\\ \Leftrightarrow {\left( {y - 2} \right)^2}\left( {{x^2} + y + 1} \right) = 3\end{array}\)
Do \(x,\,\,y \in \mathbb{Z} \Rightarrow {\left( {y - 2} \right)^2} \in \mathbb{Z} \Rightarrow {\left( {y - 2} \right)^2} \in U\left( 3 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}\).
Do \({\left( {y - 2} \right)^2} \ge 0\,\,\forall y,\,\,{\left( {y - 2} \right)^2}\) là số chính phương.
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {y - 2} \right)^2} = 1\\{x^2} + y + 1 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y - 2 = 1\\{x^2} + y + 1 = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y - 2 =  - 1\\{x^2} + y + 1 = 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 3\\{x^2} + 4 = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 1\\{x^2} + 2 = 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 3\\{x^2} =  - 1\,\,\,\left( {loai} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 1\\{x^2} = 1\,\,\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 1\end{array} \right.\end{array} \right..\) .
Vậy nghiệm nguyên của phương trình trên là \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( { - 1;\,\,1} \right);\,\,\,\left( {1;\,\,1} \right)} \right\}.\)
2. Cho ba số nguyên dương \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \({a^3} + {b^3} + {c^3}\) chia hết cho \(14.\) Chứng minh \(abc\) cũng chia hết cho \(14.\)
Ta có \(\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\,\, \vdots \,\,14 \Rightarrow \left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\,\, \vdots \,\,2\).
Do đó trong 3 số \(a,b,c\) xảy ra 2 trường hợp sau:
TH1: cả 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) cùng chẵn \( \Rightarrow abc\,\, \vdots \,\,2\) (1).
TH2: 2 trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\)  lẻ, số còn lại chẵn \( \Rightarrow abc\,\, \vdots \,\,2\).
Xét các số có dạng:
\(\begin{array}{l}7k \Rightarrow {\left( {7k} \right)^3}\,\, \vdots \,\,7\\7k + 1 \Rightarrow {\left( {7k + 1} \right)^3} \equiv 1\,\,\left( {\bmod 7} \right)\\7k + 2 \Rightarrow {\left( {7k + 2} \right)^3} \equiv 1\,\,\left( {\bmod 7} \right)\\7k + 3 \Rightarrow {\left( {7k + 3} \right)^3} \equiv 6\,\,\left( {\bmod 7} \right)\\7k + 4 \Rightarrow {\left( {7k + 4} \right)^3} \equiv 1\,\,\left( {\bmod 7} \right)\\7k + 5 \Rightarrow {\left( {7k + 5} \right)^3} \equiv 6\,\,\left( {\bmod 7} \right)\\7k + 6 \Rightarrow {\left( {7k + 6} \right)^3} \equiv 6\,\,\left( {\bmod 7} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Để \({a^3} + {b^3} + {c^3}\) chia hết cho 7 thì trong 3 số có 1 số chia hết cho 7, 1 số chia 7 dư 1 và 1 số chia 7 dư 6.
\( \Rightarrow abc\,\, \vdots \,\,7\)  (2)
Từ (1) và (2), kết hợp \(\left( {2;7} \right) = 1 \Rightarrow abc\,\, \vdots \,\,14\) (đpcm).
Chọn A.