Biết xác suất để lấy được hai trứng lành là $\dfrac{55}{84}$
Đáp án: Số trứng lành trong giỏ $A$ là $11$ quả.
Giải thích các bước giải:
Gọi $A$ là số trứng lành trong giỏ $A$,
$\overline A$ là số trứng hỏng trong giỏ $A$
Như vậy trong giỏ $A$ có $A+\overline A$ quả trứng
Gọi $B$ là số trứng lành trong giỏ $B$,
$\overline B$ là số trứng hỏng trong giỏ $B$
Trong giỏ $B$ có $B+\overline B$ quả trứng
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên mỗi quả trứng từ 2 giỏ
$n(\Omega)=C_{A+\overline A}^1+C_{B+\overline B}^1=(A+\overline A)(B+\overline B)$
Gọi $D$ là biến cố "2 quả trứng lấy ra đều là trứng lành"
Chọn 1 quả trứng từ $A$ quả trứng lành ở giỏ A có $C_A^1=A$ cách
Chọn 1 quả trứng từ $B$ quả trứng lành ở giỏ B có $C_B^1=B$ cách
Số phần tử của biến cố $D$ là:
$n(D)=A.B$
Xác suất để chọn ra 2 quả trứng đều là trứng lành là:
$P(D)=\dfrac{n(D)}{n(\Omega)}=\dfrac{A.B}{(A+\overline A)(B+\overline B)}=\dfrac{55}{84}$
Giả sử $A.B=55\Rightarrow A.B=1.55=55.1=11.5=5.11$
Nhận được trường hợp $A.B=11.5=5.11$ vì tổng số trứng trong 2 giỏ là $20$
Th1: $A.B=11.5$
Khi đó ta có: $(11+\overline A)(5+\overline B)=84$
$\Rightarrow 55+11\overline B+5\overline A+\overline A.\overline B=84$
$\Rightarrow 55+5(\overline A+\overline B)+6\overline B+\overline A.\overline B=84$
$\Rightarrow 6\overline B+\overline A.\overline B=9$
Do số trứng thuộc số tự nhiên
Như vậy $\overline B=1\Rightarrow \overline A=3$ khi đó số trứng trong giỏ A lớn hơn trong giỏ B (thỏa mãn)
Nếu $\overline B=0\Rightarrow VT=0$ (loại)
Nếu $\overline B>1$ giả sử là 2 thì $VT>9$
Vậy số trứng lành trong giải $A$ là 11 quả.
Trường hợp $A.B=5.11$ loại vì nếu giải ra sẽ ra số trứng trong giỏ A< số trứng trong giỏ B, như vậy trái với đề bài.
