Đáp án:
Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: x4+2x2=y3x4+2x2=y3
Nhận xét : y≥0y≥0
Đặt t=x2t=x2
Biến đổi rồi xét delta ta được
Δ=4+4y3Δ=4+4y3
=> √Δ=2√y3+1Δ=2y3+1
Pt nhận nghiệm nguyên nên (y+1)(y2−y+1)(y+1)(y2−y+1) phải là số chính phương
Nếu y+1=y2−y+1y+1=y2−y+1 thì dễ dàng suy ra x=y=0
Nếu y+1≠y2−y+1y+1≠y2−y+1 thì ta thấy y2−y+1>y+1y2−y+1>y+1 và tích 2 bt này lại là số chính phương nên y2−y+1y2−y+1 chia hết cho y+1
y2−y+1y+1y2−y+1y+1
= y−2+3y+1y−2+3y+1
=> y+1 là Ư(3) => y=2 (loại) hoặc y=0 => x=0
Vậy pt có nghiệm duy nhất (x;y)=(0;0)
HOẶC:
Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: x4+2x2=y3x4+2x2=y3
ptpt viết lại (x2+1)2=y3+1=(y+1)(y2−y+1)(x2+1)2=y3+1=(y+1)(y2−y+1) suy ra y≥−1y≥−1
∗∗ lần lượt xét y=−1,y==0,y=1y=−1,y==0,y=1 nhận nghiệm (x;y)(0;0)(x;y)(0;0)
∗∗ xét y≥2y≥2
đặt d=GCD(y+1;y2−y+1)d=GCD(y+1;y2−y+1)
nhận thấy y2−y+1=(y+1)2−3(y+1)+3→d|3y2−y+1=(y+1)2−3(y+1)+3→d|3
⋅d=1⋅d=1 thì suy ra y+1,y2−y+1y+1,y2−y+1 nguyên tố cùng nhau có tích là scp nên mỗi số này cũng là scp nhưng (y−1)2<y2−y+1<y2(y−1)2<y2−y+1<y2 nên vô nghiệm
⋅d=3⋅d=3 suy ra x2≡−1 (mod 3)x2≡−1 (mod 3) không xảy ra với số nguyên
vậy (x;y)(0;0)
