Đáp án:
1. GTNN: 0, GTLN: 10
2. GTNN của $y$ là $\dfrac{-4-\sqrt2}2$ và GTLN là $\dfrac{-4+\sqrt2}2$
Giải thích các bước giải:
Ta có công thức:
$a\sin x + b\cos x = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin (x + \alpha )$
Với $\cos \alpha = {a \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }},\sin \alpha = {b \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$
Áp dụng ta có:
1. $y = 3\sin x + 4\cos x + 5 = 5\sin (x + \alpha ) + 5$
Do $- 1 \le \sin (x + \alpha ) \le 1$
Nên $-5\le 5\sin (x + \alpha ) \le 5\Rightarrow -5+5\le 5\sin (x + \alpha )+5 \le 5+5$
$\Leftrightarrow 0 \le y \le 10$
Vậy GTNN của y bằng 0, GTLN của y bằng 10.
2. Theo giả thiết ta có:
$y = {{\sin x - \cos x - 3} \over {\cos x - \sin x + 2}} \Rightarrow y\cos x - y\sin x + 2y = \sin x - \cos x - 3$
$ \Leftrightarrow (y + 1)\cos x - (y + 1)\sin x = - 3 - 2y$ (1)
Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi
$ - 3 - 2y \le \sqrt {{{(y + 1)}^2} + {{(y + 1)}^2}} $
$\Rightarrow 9+4y^2+12y\le2y^2+4y+2$
$\Rightarrow 2y^2+8y+7\le0$
$\dfrac{-4-\sqrt2}2\le y\le\dfrac{-4+\sqrt2}2$
Vậy GTNN của $y$ là $\dfrac{-4-\sqrt2}2$ và GTLN là $\dfrac{-4+\sqrt2}2$.
