Cho hình chóp \(S.ABCD \) có đáy \(ABCD \) là hình thoi cạnh \(a \), góc \( \angle BAD = {60^0} \), \(SA = SB = SD = \dfrac{{a \sqrt 3 }}{2} \). Gọi \( \alpha \) là góc giữa đường thẳng \(SD \) và mặt phẳng \( \left( {SBC} \right) \). Giá trị \( \cos \alpha \) bằng: A.\(\dfrac{1}

hoanganhov123

2 năm trước

Cho hình chóp \(S.ABCD \) có đáy \(ABCD \) là hình thoi cạnh \(a \), góc \( \angle BAD = {60^0} \), \(SA = SB = SD = \dfrac{{a \sqrt 3 }}{2} \). Gọi \( \alpha \) là góc giữa đường thẳng \(SD \) và mặt phẳng \( \left( {SBC} \right) \). Giá trị \( \cos \alpha \) bằng:
A.\(\dfrac{1}{3}\)
B.\(\dfrac{{\sqrt 5 }}{3}\)
C.\(\dfrac{2}{3}\)
D.\(\dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 17 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

viphm93

Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:Xét tam giác \(ABD\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB = AD\\\angle BAD = {60^0}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \Delta ABD\) đều.
Gọi \(H\) là trọng tâm \(\Delta ABD\), do \(SA = SB = SD\) nên \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AD\), ta có \(BM \bot AD \Rightarrow BM \bot BC\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot BM\\BC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SBM} \right)\).
Goi \(N,\,\,E\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(SC\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}BN\parallel DM\\BN = DM\end{array} \right. \Rightarrow BNDM\) là hình bình hành \( \Rightarrow DN\parallel BM\).
Lại có \(NE\) là đường trung bình của tam giác \(SBC\) nên \(NE\parallel SB\).
\( \Rightarrow \left( {NDE} \right)\parallel \left( {SBM} \right)\).
Mà \(BC \bot \left( {SBM} \right)\) nên \(BC \bot \left( {NDE} \right)\).
Trong \(\left( {NDE} \right)\) kẻ \(DK \bot NE\,\,\,\left( {K \in NE} \right)\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}DK \bot NE\\DK \bot BC\,\,\left( {BC \bot \left( {NDE} \right)} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow DK \bot \left( {SBC} \right)\).
\( \Rightarrow \) Hình chiếu của \(SD\) lên \(\left( {SBC} \right)\) là \(SK\).
\( \Rightarrow \angle \left( {SD;\left( {SBC} \right)} \right) = \angle \left( {SD;SK} \right) = \angle DSK\).
Xét tam giác \(SHA\) có \(AH = \dfrac{2}{3}AO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\), \(SA = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Áp dụng định lí Pytago ta có: \(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{6}\).
Ta có: \(AC = 2AO = a\sqrt 3 \) \( \Rightarrow HC = AC - AH = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SHC\) ta có: \(SC = \sqrt {S{H^2} + H{C^2}} = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}\).
Xét tam giác \(SCD\) có:
\(\begin{array}{l}D{E^2} = \dfrac{{S{D^2} + C{D^2}}}{2} - \dfrac{{S{C^2}}}{4}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\dfrac{{3{a^2}}}{4} + {a^2}}}{2} - \dfrac{{7{a^2}}}{{16}}\\ \Rightarrow DE = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{4}\end{array}\)
Xét tam giác \(DNE\) ta có: \(DN = BM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\), \(NE = \dfrac{1}{2}SB = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\), \(DE = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{4}\).
Gọi \(p\) là nửa chu vi tam giác \(DNE\) ta có: \(p = \dfrac{{\sqrt 7 + 3\sqrt 3 }}{8}\).
Diện tích tam giác \(DNE\) là: \({S_{DNE}} = \sqrt {p\left( {p - DN} \right)\left( {p - DE} \right)\left( {p - NE} \right)} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 5 }}{{16}}\).
Lại có \({S_{DNE}} = \dfrac{1}{2}DK.NE \Rightarrow DK = \dfrac{{2{S_{DNE}}}}{{NE}} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{6}\).
Ta có: \(DK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow DK \bot SK\).
\( \Rightarrow \Delta SDK\) vuông tại \(K\), suy ra \(\sin \angle DSK = \dfrac{{DK}}{{SD}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt {15} }}{6}}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{3}\).
Vậy \(\cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \dfrac{2}{3}\).
Chọn C.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho \(a\) và \(b\) là các số thực dương khác 1. Biết rằng bất kì đường thẳng nào song song với trục tung mà cắt các đồ thị \(y = {\log _a}x,\,\,y = {\log _b}x\) và trục hoành lần lượt tại \(A,\,\,B\) và \(H\) phân biệt ta đều có \(3HA = 4HB\) (hình vẽ bên dưới). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.\({a^3}{b^4} = 1\)
B.\(3a = 4b\)
C.\(4a = 3b\)
D.\({a^4}{b^3} = 1\)

Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển \({ \left( {{x^3} + xy} \right)^{21}} \)
A.\(C_{21}^{10}{x^{40}}{y^{10}}\)
B.\(C_{21}^{10}{x^{43}}{y^{10}}\)
C.\(C_{21}^{11}{x^{41}}{y^{11}}\)
D.\(C_{21}^{10}{x^{43}}{y^{10}}\), \(C_{21}^{11}{x^{41}}{y^{11}}\)

Đội tuyển học sinh giỏi của một trường THPT có 8 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Trong buổi lễ trao phần thưởng, các học sinh trên được xếp thành một hàng ngang. Tính xác suất để khi xếp sao cho 2 học sinh nữ không đứng cạnh nhau
A.\(\dfrac{{653}}{{660}}\)
B.\(\dfrac{7}{{660}}\)
C.\(\dfrac{{41}}{{55}}\)
D.\(\dfrac{{14}}{{55}}\)

Cho tập hợp \(A = \left \{ {2;3;4;5;6;7;8} \right \} \). Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập A. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ.
A.\(\dfrac{1}{5}\)
B.\(\dfrac{3}{{35}}\)
C.\(\dfrac{{17}}{{35}}\)
D.\(\dfrac{{18}}{{35}}\)

Có 4 hành khách bước lên một đoàn tàu gồm 4 toa. Mỗi hành khách độc lập với nhau và chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người, 2 toa còn lại không có ai
A.\(\dfrac{3}{4}\)
B.\(\dfrac{3}{{16}}\)
C.\(\dfrac{{13}}{{16}}\)
D.\(\dfrac{1}{4}\)

Tìm số nguyên \(x \) sao cho: \( \frac{{x - 2}}{{27}} + \frac{{x - 3}}{{26}} + \frac{{x - 4}}{{25}} + \frac{{x - 5}}{{24}} + \frac{{x - 44}}{5} = 1. \)
A.\(x = 28\)
B.\(x = 29\)
C.\(x = 30\)
D.\(x = 1\)

Một vật có khối lượng 100 g dao động điều hòa theo phương trình có dạng x = Acos(ωt + φ) . Biết đồ thị lực kéo về theo thời gian F(t) như hình vẽ. Lấy π2 = 10 . Phương trình vận tốc của vật là

A.\(v = 4\pi \cos \left( {\pi t + \dfrac{{5\pi }}{6}} \right)\left( {cm/s} \right)\)
B.\(v = 8\pi \cos \left( {\pi t - \dfrac{\pi }{6}} \right)\left( {cm/s} \right)\)
C.\(v = 4\pi \cos \left( {\pi t + \dfrac{\pi }{6}} \right)\left( {cm/s} \right)\)
D.\(v = 4\pi \cos \left( {\pi t - \dfrac{\pi }{6}} \right)\left( {cm/s} \right)\)

Quyền bất khả xâm phạm về chỗ ở có nghĩa là
A. A. không ai được tự ý vào chỗ ở của người khác nếu không được người đó đồng ý.
B. B. công an có quyền khám chỗ ở của một người khi có dấu hiệu nghi vấn ở nơi đó có phương tiện, công cụ thực hiện tội phạm.
C. C. chỉ được khám xét chỗ ở của một người để phục vụ điều tra tội phạm.
D. D. cơ quan, tổ chức có thẩm quyền được quyền vào chỗ ở của bất cứ ai.

Hoạt động tín ngưỡng, tôn giáo theo quy định của pháp luật được Nhà nước bảo đảm; các cơ sở tôn giáo hợp pháp được pháp luật
A. A. bảo bọc.
B. B. bảo hộ.
C. C. bảo đảm.
D. D. bảo vệ.

Nam công dân từ 18 đến 25 tuổi phải thực hiện nghĩa vụ quân sự, thuộc hình thức thực hiện pháp luật nào?
A. A. Thi hành pháp luật.
B. B. Sử dụng pháp luật.
C. C. Tuân thủ pháp luật.
D. D. Áp dụng pháp luật.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến