Giải thích các bước giải:
a. Xét tam giác ABD có M là trung điểm của AB, Q là trung điểm của AD
Khi đó: MQ là đường trung bình thuộc cạnh BD của tam giác ABD.
⇔ MQ//BD và MQ = 1/2 BD (1)
Chứng minh tương tự: PN//CD và PN = 1/2 BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là hình bình hành.
Mặt khác ABCD là hình vuông nên AC = BD và AC vuông góc với BD
Hình bình hành MNPQ có MQ vuông góc với MN và MQ = MN nên MNPQ là hình vuông.
Vậy MNPQ là hình vuông.
b. Vì ABCD là hình vuông, O là giao điểm của 2 đường chéo nên O là trung điểm của AC và BD
Dễ chứng minh MBPD là hình bình hành nên O là trung điểm của BD và MP
Do MNPQ là hình vuông nên O là trung điểm của MP và QN
Vậy AC, BD, MP, QN đồng quy tại O.
c. Theo câu a: MQ//BD nên DOMB là hình thang (*)
Mà MB = 1/2 AB = 1/2 AD = QD (ABCD là hình vuông) (**)
Từ (*) và (**) suy ra DQMB là hình thang cân.
d. Diện tích tam giác ABD: ${S_{ABD}} = {{AB.AD} \over 2} = {{a.a} \over 2} = {{{a^2}} \over 2}$
Diện tích tam giác AMQ: ${S_{AMQ}} = {{AM.AQ} \over 2} = {{{a \over 2}.{a \over 2}} \over 2} = {{{a^2}} \over 8}$
Vậy diện tích hình thang DQMB là:
${S_{DQMB}} = {S_{ABD}} - {S_{AMQ}} = {{{a^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 8} = {{3{a^2}} \over 8}$
