Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:Cách 1: Dùng định lí Vi-et
Ta có: \({4^x} - 2m{.2^x} + m + 2 = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Đặt \({2^x} = t\,\,\,\,\left( {t > 0} \right)\), khi đó phương trình trở thành:
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} - 2mt + m + 2 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\)
Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \) phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt dương.
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\{t_1} + {t_2} > 0\\{t_1}{t_2} > 0\end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 4m - 8 > 0\\2m > 0\\m + 2 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 2\end{array} \right.\\m > 0\\m > - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2.\)
Cách 2: Vẽ BBT
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{4^x} - 2m{.2^x} + m + 2 = 0\,\\ \Leftrightarrow {4^x} + 2 = m\left( {{{2.2}^x} - 1} \right)\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{{{4^x} + 2}}{{{{2.2}^x} - 1}}\,\,\,\left( {{{2.2}^x} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 1} \right)\end{array}\)
+ Vẽ BBT hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{4^x} + 2}}{{{{2.2}^x} - 1}}\,\,\,\left( {x \ne - 1} \right)\)
Ta sẽ chạy Mode + 7 trên 2 khoảng \(\left( { - \infty - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)
+ Trên khoảng \(\left( { - \infty - 1} \right)\), vào Mode + 7 nhập\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = \dfrac{{{4^x} + 2}}{{{{2.2}^x} - 1}}\\St{\rm{ar}}t = - 5\\En{\rm{d}} = - 1\\Step = \dfrac{4}{{19}}\end{array} \right.\), thu được:
+ Trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\), Vào Mode + 7 nhập \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = \dfrac{{{4^x} + 2}}{{{{2.2}^x} - 1}}\\St{\rm{ar}}t = - 1\\En{\rm{d}} = 5\\Step = \dfrac{6}{{19}}\end{array} \right.\), thu được:
+ Vậy BBT là:
+ Kết luận: Vậy phương trình có 2 nghiệm \( \Leftrightarrow m > 2\).
Chọn C.
