Giải thích các bước giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si với các số thực dương ta có:
\[\begin{array}{l}
\frac{a}{b} + \frac{b}{3} \ge 2\sqrt {\frac{a}{b}.\frac{b}{3}} = 2\sqrt {\frac{a}{3}} \\
\frac{b}{3} + \frac{3}{a} \ge 2\sqrt {\frac{b}{3}.\frac{3}{a}} = 2\sqrt {\frac{b}{a}} \\
\frac{3}{a} + \frac{a}{b} \ge 2\sqrt {\frac{3}{a}.\frac{a}{b}} = 2\sqrt {\frac{3}{b}} \\
\Rightarrow \left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{3}} \right)\left( {\frac{b}{3} + \frac{3}{a}} \right)\left( {\frac{3}{a} + \frac{a}{b}} \right) \ge 2\sqrt {\frac{a}{3}} .2\sqrt {\frac{b}{a}} .2\sqrt {\frac{3}{b}} = 8\sqrt {\frac{a}{3}.\frac{b}{a}.\frac{3}{b}} = 8
\end{array}\]
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi:
\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{a}{b} = \frac{b}{3}\\
\frac{b}{3} = \frac{3}{a}\\
\frac{3}{a} = \frac{a}{b}
\end{array} \right. \Rightarrow a = b = 3\]
