Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$\eqalign{
& S = 1(2 - 1) + 2(3 - 1) + ... + n(n + 1 - 1) \cr
& = 1.2 - 1 + 2.3 - 2 + 3.4 - 3 + n(n + 1) - 1 \cr
& = (1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1)) - (1 + 2 + ... + n) \cr} $
Đặt A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1); B = 1 + 2 + ... + n
Ta có:
3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3...+ n(n+1).3
= 1.2.3 + 2.3(4-1) + 3.4.(5-2) + ... + n(n+1)(n+2 - (n-1))
= 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + ... + n(n+1)(n+2) - (n-1)n(n+1)
= n(n+1)(n+2)
Khi đó: A = ${{n(n + 1)(n + 2)} \over 3}$
B = 1 + 2 + ... + n = ${{n(n + 1)} \over 2}$
Khi đó:
$S = {{n(n + 1)(n + 2)} \over 3} - {{n(n + 1)} \over 2} = n(n + 1)\left( {{{n + 2} \over 3} - {1 \over 2}} \right) = {{n(n + 1)(2n + 1)} \over 6}$
