Đáp án:
1) Thấy bđt đúng với mọi n≥2
Giả sử bđt đúng với n=k
$\Rightarrow {k^3} + 3{k^2} + 5k \vdots 3$
Ta chứng minh nó đúng với n=k+1
Ta thấy:
$\begin{array}{l}
{\left( {k + 1} \right)^3} + 3{\left( {k + 1} \right)^2} + 5\left( {k + 1} \right)\\
= {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 + 3{k^2} + 6k + 3 + 5k + 5\\
= \left( {{k^3} + 3{k^2} + 5k} \right) + 9k + 9\\
Do:\left\{ \begin{array}{l}
{k^3} + 3{k^2} + 5k \vdots 3\\
9k + 9 \vdots 3
\end{array} \right.\\
\Rightarrow {\left( {k + 1} \right)^3} + 3{\left( {k + 1} \right)^2} + 5\left( {k + 1} \right) \vdots 3
\end{array}$
Vậy BĐt trên đúng với mọi x ≥2
2) chứng minh tương tự:
+) n=k$ \Rightarrow {2^{k + 1}} > 2k + 3$
+) n=k+1
$\begin{array}{l}
\Rightarrow {2^{k + 1 + 1}} = {2.2^{k + 1}} > 2.\left( {2k + 3} \right) = 4k + 6 > 2k + 5 = 2\left( {k + 1} \right) + 3\\
\Rightarrow {2^{\left( {k + 1} \right) + 1}} > 2\left( {k + 1} \right) + 3
\end{array}$
Vậy điều phải chứng minh
