Cho \(P=\frac{2\left( {{a}^{2}}+a+1 \right)}{{{a}^{2}}+1}\) Khi đó giá trị lớn nhất, nhỏ nhất tương ứng của \(P\) là: A.\(2;1\) B. \(1;2\) C. \(3;1\) D.\(3;-1\)
Đáp án đúng: C Giải chi tiết:Lời giải chi tiết. Ta có \(P=\frac{2\left( {{a}^{2}}+a+1 \right)}{{{a}^{2}}+1}\Leftrightarrow P\left( {{a}^{2}}+1 \right)=2\left( {{a}^{2}}+a+1 \right)\Leftrightarrow \left( P-2 \right){{a}^{2}}-2a+P-2=0\,\,\,\left( 1 \right).\) \(P\) thỏa mãn \(P=\frac{2\left( {{a}^{2}}+a+1 \right)}{{{a}^{2}}+1}\) khi và chỉ khi \(\left( 1 \right)\) có nghiệm. Trường hợp 1. \(P=2\) khi đó \(\left( 1 \right)\) trở thành \(-2a-2=0\Leftrightarrow a=-1.\) Trường hợp 2. \(P\ne 2.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow {1^2} - \left( {P - 2} \right)\left( {P - 2} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 1 - \left( {{P^2} - 4P + 4} \right) \ge 0 \Leftrightarrow - {P^2} + 4P - 3 \ge 0\\ \Leftrightarrow {P^2} - 4P + 3 \le 0 \Leftrightarrow \left( {P - 1} \right)\left( {P - 3} \right) \le 0.\end{array}\) Chú ý rằng \(P-1>P-3,\,\,\forall P\) và tích hai số là số không dương khi và chỉ khi có một số không dương và một số không âm, ta suy ra \(\left( {P - 1} \right)\left( {P - 3} \right) \le 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P - 3 \le 0\\P - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P \le 3\\P \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le P \le 3.\) Với \(P=1.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(\left( 1-2 \right).{{a}^{2}}-2a+\left( 1-2 \right)=0\Leftrightarrow -{{a}^{2}}-2a-1=0\Leftrightarrow a=-1.\) Với \(P=3.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(\left( 3-2 \right).{{a}^{2}}-2a+\left( 3-2 \right)=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}-2a+1=0\Leftrightarrow a=1.\) Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là \(3\) đạt được tại \(a=1,\) giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(1\) đạt được tại \(a=-1.\) Chọn đáp án A.