Cho hình chóp đều S. ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a , mặt bên của hình chóp tạo với mặt đáy góc 60o. Mặt phẳng (P ) chứa AB và đi qua trọng tâm tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N . Tính thể tích khối chóp S. ABMN theo a . A. B. C. D.
Đáp án đúng: D Giải chi tiết:Gọi O là giao điểm của AC và BD => SO ⊥ (ABCD) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD ; G là trọng tâm ∆SAC . Ta có SJ ⊥ CD ; IJ ⊥ CD => CD ⊥ (SIJ) Góc SIJ < 900 => Góc giữa mặt bên ( SCD ) và mặt đáy ( ABCD ) là góc SJI => góc SJI = 600 Ta thấy A, G, M thuộc (P); A, G, M thuộc (SAC) => A,G,M thẳng hàng và M là trung điểm của SC G là trọng tâm ∆SAC . => ; SO là trung tuyến tam giác SBD => G cũng là trọng tâm tam giác SBD Lập luận tượng tự ta cũng có => B,G, N thẳng hàng và N là trung điểm của SD . Gọi K là trung điểm của MN => K cũng là trung điểm của SJ . ∆SJI đều cạnh a ;G cũng là trọng tâm ∆SJI nên IK ⊥ SJ ; Dễ thấy SJ ⊥ MN nên SJ ⊥ (ABMN) Thể tích khối chóp S.ABMN là : V = SK.SABMN ∆SJI đều cạnh = > IK = ; SK = SABMN = (AB + MN)IK = (a + ) = => V = .. =