Đáp án:$m=1+2\sqrt{3}$
Giải thích các bước giải:
$y=x^3-(m-1)x^2+x+m-3\\
=x^3-x^2-(m-2)x^2+(m-2)x-(m-3)x+m-3\\
=x^2.(x-1)-(m-2).x.(x-1)-(m-3)(x-1)=(x-1)[x^2-(m-2)x-(m-3)]$
Hoành độ giao điểm của y với trục Ox là nghiệm phương trình y=0
⇔$(x-1)[x^2-(m-2)x-(m-3)]=0(*)$
Phương trình (*) có 1 nghiệm là x=1
⇒ Để cắt tại 3 điểm thì phương trình $x^2-(m-2)x-(m-3)=0(1)$ có 2 nghiệm phân biệt khác 1
Phương trình (1) có nghiệm khác 1: $1-(m-2)-(m-3)\neq 0\Leftrightarrow m\neq 3$
Để (1) có 2 nghiệm phân biệt:
$\Delta > 0\Leftrightarrow (m-2)^2+4(m-3)> 0\Leftrightarrow m>2\sqrt{2};m<-2\sqrt{2}$
Theo hệ thức vi-ét:
$\left\{\begin{matrix}
x_1+x_2=m-2 & & \\
x_1.x_2=-m+3 & &
\end{matrix}\right.$
$x_1^2+x_2^2+x_3^2=10\\
\Leftrightarrow 1+x_1^2+x_2^2=10\\
\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+2x_1.x_2-2x_1.x_2=9\\
\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1.2x_2=9\\
\Leftrightarrow (m-2)^2-2(-m+3)=9\Leftrightarrow
m=1\pm 2\sqrt{3}$
Đối chiếu ⇒$m=1+2\sqrt{3}$
