Giải thích các bước giải:
Đặt
\[\begin{array}{l}
\frac{{AA'}}{{AB}} = \frac{{BB'}}{{BC}} = \frac{{CC'}}{{CA}} = k\left( {k > 0} \right)\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AA'} = k\overrightarrow {AB} \\
\overrightarrow {BB'} = k\overrightarrow {BC} \\
\overrightarrow {CC'} = k\overrightarrow {CA}
\end{array} \right.
\end{array}\]
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì ta có:
\[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \]
Ta có:
\[\begin{array}{l}
\overrightarrow {GA'} + \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {GC'} \\
= \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AA'} } \right) + \left( {\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BB'} } \right) + \left( {\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CC} '} \right)\\
= \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} } \right)\\
= \overrightarrow 0 + \left( {k.\overrightarrow {AB} + k.\overrightarrow {BC} + k.\overrightarrow {CA} } \right)\\
= k.\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} } \right) = k.\overrightarrow 0 = 0
\end{array}\]
Suy ra G là trọng tâm tam giác A'B'C'
Do đó tam giác ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm
