Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ 0;1 \right]\) thỏa mãn \(f(1)=0\) và\(\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f'(x) \right]}^{2}}dx=\int\limits_{0}^{1}{(x+1){{e}^{x}}f(x)dx=\frac{{{e}^{2}}-1}{4}}}\) . Tính tích phân \(I=\int\limits

trancongpcccps4@gmail.com

2 năm trước

Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ 0;1 \right]\) thỏa mãn \(f(1)=0\) và\(\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f'(x) \right]}^{2}}dx=\int\limits_{0}^{1}{(x+1){{e}^{x}}f(x)dx=\frac{{{e}^{2}}-1}{4}}}\) . Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}\).
A. \(I=e-2\).
B. \(I=2-e\).
C. \(I=\frac{e-1}{2}\).
D. \(I=\frac{e}{2}\).

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 26 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

bgdt1995

Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:Ta có:
\(\begin{align} \int\limits_{0}^{1}{(x+1){{e}^{x}}f(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{f(x)d\left( x{{e}^{x}} \right)}=\left. x{{e}^{x}}f(x) \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{x{{e}^{x}}f'(x)dx}=\frac{{{e}^{2}}-1}{4} \\ \Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{x{{e}^{x}}f'(x)dx}=\left. x{{e}^{x}}f(x) \right|_{0}^{1}-\frac{{{e}^{2}}-1}{4}=e\,f(1)-0-\frac{{{e}^{2}}-1}{4}=e.0-\frac{{{e}^{2}}-1}{4}=-\frac{{{e}^{2}}-1}{4} \\ \end{align}\)
Xét \(\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f'(x)+kx{{e}^{x}} \right]}^{2}}dx=}\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f'(x) \right]}^{2}}dx}+2k\int\limits_{0}^{1}{x{{e}^{x}}f'(x)dx+{{k}^{2}}\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{e}^{2x}}dx}}=\frac{{{e}^{2}}-1}{4}+2k.\left( -\frac{{{e}^{2}}-1}{4} \right)+{{k}^{2}}.I\)
\(\begin{align}I=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{e}^{2x}}dx}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}d{{e}^{2x}}=\left. \frac{1}{2}{{x}^{2}}{{e}^{2x}} \right|_{0}^{1}-\frac{1}{2}}\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{2x}}d{{x}^{2}}}=\frac{1}{2}{{e}^{2}}-\int\limits_{0}^{1}{x{{e}^{2x}}dx=}\frac{1}{2}{{e}^{2}}-\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{xd{{e}^{2x}}} \\ =\frac{1}{2}{{e}^{2}}-\left. \frac{1}{2}x{{e}^{2x}} \right|_{0}^{1}+\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{2x}}dx}=\frac{1}{2}{{e}^{2}}-\frac{1}{2}{{e}^{2}}+\frac{1}{4}\left. {{e}^{2x}} \right|_{0}^{1}=\frac{1}{4}{{e}^{2}}-\frac{1}{4} \\ \end{align}\)
\(\begin{align} \Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f'(x)+kx{{e}^{x}} \right]}^{2}}dx}=\frac{{{e}^{2}}-1}{4}+2k.\left( -\frac{{{e}^{2}}-1}{4} \right)+{{k}^{2}}.\left( \frac{1}{4}{{e}^{2}}-\frac{1}{4} \right)=\frac{{{e}^{2}}-1}{4}.\left[ {{k}^{2}}-2k+1 \right]=\frac{{{e}^{2}}-1}{4}.{{(k-1)}^{2}}=0 \\ \Rightarrow k=1 \\ \end{align}\)
Khi đó, \(\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f'(x)+x{{e}^{x}} \right]}^{2}}dx}=0\Rightarrow f'(x)+x{{e}^{x}}=0\Leftrightarrow f'(x)=-x{{e}^{x}}\Rightarrow f(x)=-\int{x{{e}^{x}}dx}=-(x-1){{e}^{x}}+C\)
Mà \(f(1)=0\Rightarrow 0+C=0\Rightarrow C=0\Rightarrow f(x)=-(x-1){{e}^{x}}\)
\(\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx=}\int\limits_{0}^{1}{\left[ -(x+1){{e}^{x}} \right]dx}=-\int\limits_{0}^{1}{(x-1)d{{e}^{x}}}=-(x-1)\left. {{e}^{x}} \right|_{0}^{1}+\left. {{e}^{x}} \right|_{0}^{1}=\left. \left( -x{{e}^{x}}+2{{e}^{x}} \right) \right|_{0}^{1}=\left( -e+2e \right)-2=e-2\)
Chọn: A

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{1 - \sqrt {4 - {x^2}} }}{{{x^2} - 2x - 3}}\) có số đường tiệm cận đứng là \(m\) và số đường tiệm cận ngang là \(n\). Giá trị của \(m + n\) là
A.\(1\)
B.\(2\)
C.\(3\)
D.\(0\)

Một rượu no đa chức A có x nguyên tử C và y nhóm OH trong cấu tạo phân tử. Cho 18,4 gam A tác dụng với lượng dư Na thu được 6,72 lít H2 (đktc). biết x=y. A có công thức phân tử là:
A.C2H5OH
B.C3H6(OH)2
C.C3H5 (OH)3
D.CH3OH

Phát biểu nào sau đây đúng:
A.Tinh bột tham gia phản ứng tráng bạc
B.Xenlulozo bị thủy phân trong dung dịch kiềm đun nóng
C.Dung dịch saccarozo phản ứng với dd Cu(OH)2 tạo dung dịch màu xanh lam
D.Glucozo bị thủy phân trong môi trường axit

Phát biểu nào sau đây là đúng?
A.Trong hệ sinh thái, năng lượng được truyền một chiều từ vi sinh vật qua các bậc dinh dưỡng tới sinh vật sản xuất rồi trở lại môi trường
B.Năng lượng được truyền trong hệ sinh thái theo chu trình tuần hoàn và được sử dụng trở lại
C.Trong một hệ sinh thái, sự chuyển hóa vật chất diễn ra theo chu trình.
D.Ở mỗi bậc dinh dưỡng, phần lớn năng lượng bị tiêu hao qua hô hấp, tạo nhiệt, chất thải, … chỉ có khoảng 90% năng lượng được truyền lên bậc dinh dưỡng cao hơn.

Một nhà máy dự định sản xuất cốc thủy tinh hình trụ không nắp có thể tích \(50c{m^3}\). Giá nguyên vật liệu làm thành cốc là \(100\) đồng/\(c{m^2}\) và giá nguyên vật liệu làm thành cốc là \(200\) đồng/\(c{m^2}\). Hỏi chi phí nhỏ nhất mua nguyên vật liệu cho một chiếc cốc là bao nhiêu tiền? (xấp xỉ)
A.\(7513\) đồng
B.10616 đồng
C.8235 đồng
D.9466 đồng

Kim loại nào sau đây không bị thụ động hóa trong dung dịch axit HNO3 đặc nguội?
A.Al
B.Fe
C.Cu
D.Cr

\(y = \left( {x + 2\sqrt x } \right)\left( {{x^2} + 4} \right);\)
A.\(3{x^2} - 5x\sqrt x + {4 \over {\sqrt x }} + 4\)
B.\(3{x^2} + 5\sqrt x + {4 \over {\sqrt x }} + 4\)
C.\(3{x^2} + 5x\sqrt x + 4\sqrt x + 4\)
D.\(3{x^2} + 5x\sqrt x + {4 \over {\sqrt x }} + 4\)

B và D là các đồng phân của A. B tác dụng với NaOH nhưng không tác dụng với Na. D tác dụng với Na và không tác dụng với NaOH. Viết CTCT của B và D.
A. CH3COOH ; HOCH2 – CH=O.
B.H – COO – CH3; HOCH2 – CH=O.
C.H – COO – C2H5 ; HOCH2 – CH=O.
D. C2H5COOH; CH3CHO

Trên một sợi dây dài đang có sóng ngang hình sin truyền qua theo chiều dương của trục Ox. Tại thời điểm t0, một đoạn của sợi dây có hình dạng như hình bên. Hai phần tử dây tại M và O dao động lệch pha nhau
A.
B.
C.
D.

Hồng Anh mua 2 hộp bút chì màu, hộp thứ nhất có 18 cây bút chì màu. Hộp thứ hai có 27 hộp bút chì màu. Hồng Anh lấy tất cả số cây bút chì màu trộn vào nhau, và chia đều vào 9 cái túi bút để tặng cho các em nhỏ. Hỏi mỗi túi bút có bao nhiêu cây bút chì màu?
A.8
B.7
C.6
D.5

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến