Cho \(P = \frac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\,\,\,\,\left( {x > 0} \right).\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P.\) A.\(1\) B.\(2\) C.\(3\) D.\(4\)
Đáp án đúng: A Giải chi tiết:Ta có \(P = \frac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} = \sqrt x - 1 + \frac{1}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} - 1\) Vì \(x > 0\) nên \(\sqrt x > 0;\frac{1}{{\sqrt x }} > 0\). Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số \(\sqrt x > 0;\,\,\frac{1}{{\sqrt x }} > 0\): \(\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{1}{{\sqrt x }}} \Leftrightarrow \sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} \ge 2 \Leftrightarrow \sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} - 1 \ge 2 - 1 \Leftrightarrow P \ge 1\) Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{1}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 1\,\,\,\left( {tm} \right).\) Vậy \(Min\,\,P = 1\) khi \(x = 1.\) Chọn A.