Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho phương trình \({{9}^{x}}-m{{.3}^{x+1}}+3{{m}^{2}}-75=0\) có hai nghiệm phân biệt. Hỏi \(S\) có bao nhiêu phần tử? A.8 B.4 C.19 D.5
Đáp án đúng: B Giải chi tiết:Ta có phương trình đã cho \(\Leftrightarrow {{\left( {{3}^{x}} \right)}^{2}}-3m{{.3}^{x}}+3{{m}^{2}}-75=0\ \ \ \left( * \right)\) Đặt \({{3}^{x}}=t\ \ \left( t>0 \right)\) ta có phương trình: \({{t}^{2}}-3mt+3{{m}^{2}}-75=0\ \ \ \left( 1 \right)\) Để phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm dương phân biệt \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\ - \frac{b}{a} > 0\\\frac{c}{a} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{m^2} - 12{m^2} + 300 > 0\\3m > 0\\3{m^2} - 75 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{m^2} < 300\\m > 0\\{m^2} > 25\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} < 100\\m > 0\\\left[ \begin{array}{l}m > 5\\m < - 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 10 < m < 10\\m > 5\end{array} \right. \Leftrightarrow 5 < m < 10 \Rightarrow m = \left\{ {6;\;7;\;8;\;9} \right\}.\end{array}\) Chọn B.