Đáp án đúng:
Giải chi tiết:
a. Vì \(D\) và \(H\) đối xứng với nhau qua \(AB\left( {gt} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}DI = IH\\DH \bot AB = \left\{ I \right\}\end{array} \right.\) (tính chất đối xứng trục)
\( \Rightarrow \angle HIA = {90^0}\)
Vì \(H\) và \(E\) đối xứng với nhau qua \(AC\left( {gt} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}HK = KE\\HE \bot AC = \left\{ K \right\}\end{array} \right.\) (tính chất đối xứng trục)
 \( \Rightarrow \angle HKA = {90^0}\)
Xét tứ giác \(AIHK\) có: \(\angle AIH = \angle IAK = \angle AKH = {90^0} \Rightarrow AIHK\) là hình chữ nhật (dhnb)
b. Vì \(D\) và \(H\) đối xứng với nhau qua \(AB\left( {gt} \right) \Rightarrow AB\) là đường trung trực của \(DH\) (tính chất)
\( \Rightarrow DA = AH\) (tính chất)
\( \Rightarrow \Delta A{\rm{D}}H\) cân tại \(A\).
Mà \(AI\) là đường cao nên cũng là tia phân giác của \(\angle DAH\) (tính chất tam giác cân)
\( \Rightarrow \angle DAI = \angle IAH\) (tính chất tia phân giác) (1)
     Vì \(E\) và \(H\) đối xứng với nhau qua \(AC\left( {gt} \right) \Rightarrow AC\) là đường trung trực của \(EH\) (tính chất)
\( \Rightarrow HA = AE\) (tính chất điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng)
\( \Rightarrow \Delta AEH\) cân tại \(A\) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)
Mà \(AK\) là đường cao nên cũng là tia phân giác của \(\angle EAH\) (tính chất tam giác cân)
\( \Rightarrow \angle HAK = \angle KAE\) (tính chất tia phân giác) (2)
Lại có: \(\angle IAH + \angle HAK = {90^0}\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle DAI + \angle K{\rm{AE}} = {90^0}\)
\( \Rightarrow \angle DAI + \angle IAH + \angle HAK + \angle K{\rm{AE}} = {180^0} \Rightarrow D,\,A,\,E\) thẳng hàng.
c. Vì \(AB\) là đường trung trực của \(DH\left( {cmt} \right) \Rightarrow DB = BH\) (tính chất)
Vì \(AC\) là đường trung trực của \(EH\left( {cmt} \right) \Rightarrow HC = CE\) (tính chất)
Mà \(BC = BH + HC \Rightarrow BC = B{\rm{D}} + CE\). (đpcm)
d. Do \(\Delta A{\rm{D}}H\) là tam giác cân tại \(A\left( {cmt} \right)\) mà \(AI\) là đường cao nên\( \Rightarrow {S_{\Delta DAI}} = {S_{\Delta HAI}}\)
Lại có, \(\Delta AHE\) cân tại \(A\left( {cmt} \right)\) mà \(AK\) là đường cao nên\( \Rightarrow {S_{\Delta AHK}} = {S_{\Delta AKE}}\)
Do đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{S_{AIHK}} = {S_{AIH}} + {S_{AHK}}\\{S_{DEH}} = {S_{AIH}} + {S_{AHK}} + {S_{DAI}} + {S_{AKE}} = 2\left( {{S_{AIH}} + {S_{AHK}}} \right) = 2{S_{AIHK}} = 2a\end{array} \right.\)