Đáp án đúng:
Giải chi tiết:1. Cho hai điểm A, B phân biệt nằm trong góc nhọn xOy sao cho \(\angle xOA = \angle yOB\). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các tia Ox, Oy và P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên các tia Ox, Oy. Giả sử M, N, P, Q đôi một phân biệt. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.

Xét \(\Delta OAM\) và \(\Delta OBQ\) ta có:
\(\begin{array}{l}\angle MOA = \angle QOB\,\,\left( {gt} \right)\\\angle OMA = \angle OQB\,\,\left( { = {{90}^0}} \right)\\ \Rightarrow \Delta OAM \sim \Delta OBQ\,\,\,\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{OM}}{{OQ}} = \frac{{OA}}{{OB}}\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Ta có: \(\angle MOA = \angle QOB\;\;\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow \angle xOy - \angle MOA = \angle xOy - \angle QOB \Rightarrow \angle AON = \angle BOP\)
Xét \(\Delta OAN\) và \(\Delta OBP\) ta có:
\(\begin{array}{l}\angle AON = \angle BOP\;\;\;\left( {cmt} \right)\\\angle ONA = \angle OPB\;\;\left( { = {{90}^0}} \right)\\ \Rightarrow \Delta OAN \sim \Delta OBP\;\;\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{ON}}{{OP}} = \frac{{OA}}{{OB}}\;\;\;\left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \frac{{OM}}{{OQ}} = \frac{{ON}}{{OP}} \Rightarrow OM.OP = ON.OQ\)
\( \Rightarrow \) Bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn. (đpcm)
2.Cho tam giác ABC không cân có ba góc nhọn. Một đường tròn đi qua B,C cắt các cạnh AC,AB lần lượt tại D, E. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD,CE.

a. Chứng minh rằng các tam giác ABD, ACE đồng dạng với nhau và \(\angle MAB = \angle NAC\)
Ta có B,D,C,E cùng thuộc đường tròn qua BC (gt)
 (góc nội tiếp cùng chắn cung ED)
hay \(\angle ABD = \angle ACE\)
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\) ta có:\( \Rightarrow \angle EBD = \angle DCE\)
\(\begin{array}{l}\angle ABD = \angle ACE\;\;\left( {cmt} \right)\\\angle A\;\;chung\\ \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta ACE\;\;\left( {g - g} \right)\; \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{CE}}\;\;\;\left( 3 \right)\end{array}\)
Mặt khác ta có M, N lần lượt là trung điểm của BD,CE
\( \Rightarrow BM = \frac{1}{2}BD\,\,;\,\,CN = \frac{1}{2}CE \Rightarrow \frac{{BM}}{{CN}} = \frac{{BD}}{{CE}}\)      (4)
Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BM}}{{CN}}\)
Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACN\) ta có:
\(\begin{array}{l}\angle ABM = \angle ACN\;\;\left( {\Delta ABD \sim \Delta ACE} \right)\\\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BM}}{{CN}}\\ \Rightarrow \Delta ABM \sim \Delta ACN\;\;\left( {c - g - c} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \angle MAB = \angle NAC\) (2 góc tương ứng)
b. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên AB, K là hình chiếu vuông góc của N lên AC và I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng tam giác IHK cân.
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AM, AN
Ta có I, P, Q lần lượt là trung điểm của MN, AM, AN (gt)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}IP//AN\\IQ//AM\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\angle IPM = \angle MAN\\\angle IQN = \angle MAN\end{array} \right.\)  (các góc đồng vị) \( \Rightarrow \angle IPM = \angle IQN\;\;\left( 5 \right)\)
Xét \(\Delta AHM\) vuông tại H, P là trung điểm của AM
\( \Rightarrow HP = \frac{1}{2}AM\)  (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)
\( \Rightarrow \Delta APH\) cân tại \(P \Rightarrow \angle PAH = \angle PHA\) (tính chất tam giác cân)
\( \Rightarrow \angle MPH = 2\angle MAH\)  (tính chất góc ngoài của tam giác)
Xét \(\Delta AKN\) vuông tại K, Q là trung điểm của AN
\( \Rightarrow KQ = \frac{1}{2}AN\)  (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)
\( \Rightarrow \Delta AQK\) cân tại \(Q \Rightarrow \angle QAK = \angle QKA\) (tính chất tam giác cân)
\( \Rightarrow \angle NQK = 2\angle NAK\)  (tính chất góc ngoài của tam giác)
 Mà \(\angle MAH = \angle NAK\;\;\left( {\angle MAB = \angle NAC} \right) \Rightarrow \angle MPH = \angle NQK\;\;\;\left( 6 \right)\)
Từ  (5) và (6) \( \Rightarrow \angle IPM + \angle MPH = \angle IQN + \angle NQK \Leftrightarrow \angle IPH = \angle KQI\)
Ta có I, P lần lượt là trung điểm của MN,AM  (gt) \( \Rightarrow IP = \frac{1}{2}AN = KQ\)
Ta có I, Q lần lượt là trung điểm của MN,AN  (gt) \( \Rightarrow IQ = \frac{1}{2}AM = HP\)
Xét \(\Delta IPH\) và \(\Delta KQI\) ta có:
\(\begin{array}{l}\angle IPH = \angle KQI\;\;\left( {cmt} \right)\\IP = KQ\;\;\left( {cmt} \right)\\HP = IQ\;\;\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta IPH = \Delta KQI\;\;\left( {c - g - c} \right)\end{array}\) 
\( \Rightarrow IH = IK\) (2 cạnh tương úng)
\( \Rightarrow \Delta IHK\) cân tại I     (đpcm)