Giải thích các bước giải:
a, Xét ΔAOE và ΔMOE có:
AO = MO = R; AE = ME (gt); OE chung
⇒ ΔAOE = ΔMOE (c.c.c) ⇒ $\widehat{EAO}$ = $\widehat{EMO}$
⇒ $\widehat{EMO}$ = $90^{o}$
⇒ EF là tiếp tuyến của (O) (đpcm)
b, EF và By cắt nhau tại F, theo tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
$\widehat{MOF}$ = $\widehat{BOF}$
Mà $\widehat{MOE}$ = $\widehat{AOE}$ (ΔAOE = ΔMOE)
⇒ $\widehat{MOE}$ + $\widehat{MOF}$ = $\widehat{AOE}$ + $\widehat{BOF}$ = $\frac{1}{2}$. $180^{o}$ = $90^{o}$
⇒ $\widehat{EOF}$ = $90^{o}$ ⇒ ΔEOF là tam giác vuông (đpcm)
c, EF và Ax là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại E
⇒ EA = EM mà OA = OM
⇒ OE là trung trực của AM ⇒ OE ⊥ AM (1)
ΔAMB nội tiếp đường tròn đường kính AB ⇒ ΔAMB vuông tại M
⇒ MA ⊥ MB (2)
Từ (1), (2) suy ra OE ║ MB
⇒ $\widehat{MOE}$ = $\widehat{OMB}$ (so le trong)
Mà $\widehat{OMB}$ = $\widehat{ABM}$ (ΔMOB cân tại O)
⇒ $\widehat{MOE}$ = $\widehat{ABM}$
Lại có $\widehat{EMO}$ = $\widehat{AMB}$ = $90^{o}$
⇒ ΔEMO đồng dạng với ΔAMB (g.g)
⇒ $\frac{EM}{OE}$ = $\frac{AM}{AB}$ ⇒ EM.AB = AM.OE (3)
Chứng minh tương tự, ta có ΔFMO đồng dạng với ΔBMA (g.g)
⇒ $\frac{FM}{OF}$ = $\frac{BM}{AB}$ ⇒ FM.AB = BM.OF (4)
Từ (3) và (4) suy ra: AM.OE + BM.OF = AB.(EM + FM) = AB.EF (đpcm)
d, Gọi H là hình chiếu vuông góc của M xuống AB
Ta thấy ΔEOF đồng dạng với ΔAMB (g.g)
⇒ $\frac{S_{AMB}}{S_{EOF}}$ = $(\frac{MH}{OM})^{2}$ = $\frac{3}{4}$
⇔ $\frac{MH}{OM}$ = $\frac{\sqrt[]{3}}{2}$ ⇔ sin$\widehat{MOH}$ = $\frac{\sqrt[]{3}}{2}$
⇔ $\widehat{MOH}$ = $60^{o}$
⇔ $\widehat{AEO}$ = $60^{o}$ ⇔ E nằm trên Ax sao cho AE = $\frac{1}{2}$OA = $\frac{1}{2}$R
