Đáp án:
Có 1 nghiệm thỏa mãn đề bài
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,2\sin x - 2\cos x = \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \sin x - \cos x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{4} = \pi - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \\x = \dfrac{{13\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)
Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)
\(x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow 0 \le \dfrac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \le \dfrac{\pi }{2}\)
\( \Leftrightarrow - \dfrac{5}{{24}} \le k \le \dfrac{1}{{24}}\), mà \(k \in Z \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \dfrac{{5\pi }}{{12}}\).
Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{{13\pi }}{{12}} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)
\(x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow 0 \le \dfrac{{13\pi }}{{12}} + k2\pi \le \dfrac{\pi }{2}\)
\( \Leftrightarrow - \dfrac{{13}}{{24}} \le k \le - \dfrac{7}{{24}}\), mà \(k \in Z \Rightarrow k \in \emptyset \).
Vậy phương trình có 1 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(x = \dfrac{{5\pi }}{{12}}\).
