Giải thích các bước giải:
a, ΔABC có P là trung điểm của AB, M là trung điểm của BC
⇒ PM là đường trung bình ⇒ PM ║ AC hay PM ║ AN
M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC
⇒ MN là đường trung bình ⇒ MN ║ AB hay MN ║ AP
Tứ giác APMN có 2 cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành
Mà $\widehat{A}$ là góc vuông
⇒ APMN là hình chữ nhật
⇒ AM = PN (đpcm)
b, PM ║ NC, PN ║ MC ⇒ Tứ giác PMNC là hình bình hành
⇒ 2 đường chéo MN, CP cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Mà I là trung điểm của MN
⇒ I là trung điểm của CP
⇒ C, I, P thẳng hàng (đpcm)
c, Tứ giác AMCD có 2 đường chéo MD, AC cắt nhau tại N là trung điểm của mỗi đường
⇒ AMCD là hình bình hành
Mà MD ⊥ AC (do MD ║ AB, AB ⊥ AC) nên AMCD là hình thoi
d, Ta có: IM = $\frac{1}{2}$MN
Kẻ EF ⊥ IM (F ∈ IM)
⇒ EF ║ AN ⇒ $\frac{EF}{AN}$ = $\frac{EM}{AM}$ = $\frac{EM}{EM+EA}$
mà $\frac{EM}{EA}$ = $\frac{IM}{AP}$ = $\frac{1}{2}$
⇒ EA = 2EM ⇒ $\frac{EF}{AN}$ = $\frac{1}{1+2}$ = $\frac{1}{3}$
$S_{MEI}$ = $\frac{1}{2}$.EF.IM = $\frac{1}{2}$.$\frac{1}{3}$.AN.$\frac{1}{2}$.AP = 2
⇒ AN.AP = 24
⇒ $S_{APMN}$ = 24 ⇒ $S_{ABC}$ = 2.$S_{APMN}$ = 2.24 = 48$cm^{2}$
