a) $\Delta$ $OAD$ cân đỉnh $O$ vì có $OA=OD$(1)
Có $OK$ là đường cao nên cũng là đường phân giác
$\Rightarrow \widehat{AOK}=\widehat{DOK}$ (2)
Có $OK$ chung (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra $\Delta AOK=\Delta DOK$ (c.g.c)
$\Rightarrow\widehat{KDO}= \widehat{KAO}=90^o$ (do $AK$ là tiếp tuyến $(O)$)
$\Rightarrow KD\bot OD$ và $D\in(O)$ nên $KD$ là tiếp tuyến $(O)$
b) Gọi $G=OK\cap AD$
Xét $\Delta$ vuông $ AKG$ và $\Delta$ vuông $ BAD$ có:
$\widehat{AKG}=\widehat{BAD}$ (cùng phụ $\widehat{DAB}$)
$AK=AB$ (do $\Delta ABK$ vuông tại $A$ có $\widehat{ABC}=45^o$ nên $\Delta ABK$ cân đỉnh $A$)
$\Rightarrow \Delta AKG=\Delta BAD$ (cạnh huyền- góc nhọn)
$\Rightarrow AG=BD$ mà $AG=\dfrac{AD}{2}$
$\Rightarrow \dfrac{AD}{2}=BD\Rightarrow AD=2BD$ (đpcm)
c) Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta $ vuông $ABD$ ta có:
$AD^2+BD^2=AB^2$
$\Rightarrow (2DB)^2+BD^2=5^2$
$\Rightarrow DB=\sqrt5$
Dựng $DE\bot AB$ khi đó độ dài đường cao vẽ từ D của $\Delta ABD$ là DE
Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta $ vuông $ABD$ ta có:
$\dfrac{1}{DE^2}=\dfrac{1}{DB^2}+\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{(\sqrt5^2}+\dfrac{1}{(2\sqrt5)^2}=\dfrac{1}{4}$
$\Rightarrow DE=2$
