Giải thích các bước giải:
a) Tứ giác AMDN có $\widehat{AMD}$ = $\widehat{MAN}$ = $\widehat{AND}$ = $90^{o}$
(vì ΔABC vuông tại A và M; N lần lượt là hình chiếu của D trên AB; AC)
⇒ Tứ giác AMDN là hình chữ nhật (đpcm)
b) ΔABC có D là trung điểm của BC; DN ║ AB(vì cùng vuông góc với AC)
⇒ N là trung điểm của AC ⇒ AN = CN mà AN = DM (vì AMDN là hình chữ nhật)
⇒ CN = DM
Tứ giác MDCN có DM║CN (vì DM║AC); DM = CN (chứng minh trên)
⇒ MDCN là hình bình hành (đpcm)
c) ΔABC có D là trung điểm của BC; DM ║ AC (vì cùng vuông góc với AB)
⇒ M là trung điểm của AB
ΔAHB vuông tại H có HM là trung tuyến ứng với cạnh huyền
⇒ HM = MB = MA
⇒ ΔHMB cân tại M ⇒ $\widehat{MBH}$ = $\widehat{MHB}$
MN ║ BC ⇒ $\widehat{MHB}$ = $\widehat{HMN}$ và $\widehat{MBH}$ = $\widehat{AMN}$
Suy ra: $\widehat{HMN}$ = $\widehat{AMN}$
Xét ΔMAN và ΔMHN có:
MN chung; $\widehat{AMN}$ = $\widehat{HMN}$; MA = MH
⇒ ΔMAN = ΔMHN (c.g.c)
⇒ HN = AN mà AN = MD
⇒ HN = MD
Tứ giác MHDN có MN ║ DH và HN = MD nên là hình thang cân (đpcm)
d, MA = MH, NA = NH ⇒ MN là trung trực của AH ⇒ MP ⊥ AH
ΔMAN = ΔMHN ⇒ $\widehat{MHN}$ = $\widehat{MAN}$ = $90^{o}$
⇒ MH ⊥ HN mà AP ║ MH
⇒ AP ⊥ HN
ΔHAN có AP, MP là đường cao cắt nhau tại P
⇒ P là trực tâm ⇒ HP ⊥ AN hay HP ⊥ BC (đpcm)
