`a)` Áp dụng định lý $Thales$ , ta có:
$PN//BC$ ( gt )
`⇒(AP)/(AB)=(AN)/(AC)`
Mà `AN=4cm ; AP=1cm ; AB=4cm` ( gt )
`⇒1/4 = 4/(AC)`
`⇒1.AC=4.4`
`⇒1.AC=16`
`⇒AC=16cm`
`b)` Ta có:
`(AG)/(AM)=2/3` ( tính chất trọng tâm )
Mà `(AG)/(AM)=(EG)/(MB)` ( $GE//BC$ ; hệ quả của định lý $Thales$ )
`⇒(EG)/(MB)=2/3`
Lại có:
`(AG)/(AM)=2/3` ( tính chất trọng tâm )
Mà `(GK)/(MC)=(AG)/(AM)` ( $GE//BC$ ; hệ quả của định lý $Thales$ )
`⇒(GK)/(MC)` hay `(EG)/(MC)=2/3`
Mà `BM=MC` ( `M` là trung điểm `BC` )
`⇒(EG)/(MB)=2/3` `(đpcm)`