Đáp án:
`x in {\frac{(\sqrt5+3)^2}{4},\frac{(-\sqrt5+3)^2}{4}}`
Giải thích các bước giải:
`P=(1-sqrtx+x)/sqrtx(x>0,x ne 1)`
`=>1/P=sqrtx/(x-sqrtx+1)`
`=>Q=2/P=(2sqrtx)/(x-sqrtx+1)`
Với `x>0,x ne 1`
`=>{(2sqrtx>0),(x-sqrtx+1>0):}`
`=>Q>0`
`Q=2/(sqrtx-1+1/sqrtx)`
Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có:
`sqrtx+1/sqrtx>=2`
`=>sqrtx-1+1/sqrtx>=1`
`=>Q<=2`
`=>0<Q<=2`
Mà `Q in ZZ`
`=>Q in {1;2}`
`Q=1=>2sqrtx=x-sqrtx+1`
`=>x-3sqrtx+1=0`
`=>x-3sqrtx+9/4-5/4=0`
`=>(sqrtx-3/2)^2=5/4`
`=>` \(\left[ \begin{array}{l}\sqrt{x}=\dfrac{\sqrt5+3}{2}\\\sqrt{x}=\dfrac{-\sqrt5+3}{2}\end{array} \right.\)
`=>` \(\left[ \begin{array}{l}x=\dfrac{(\sqrt5+3)^2}{4}\\x=\dfrac{(-\sqrt5+3)^2}{4}\end{array} \right.\)
`Q=2`
Mà `Q<=2`
Dấu "=" xảy ra khi `sqrtx=1/sqrtx<=>x=1(KTM)`
Vậy với `x in {\frac{(\sqrt5+3)^2}{4},\frac{(-\sqrt5+3)^2}{4}}` thì `Q in ZZ.`
