À, rồi, hiểu ý bạn. Tức là bạn muốn CM với \(x,y,z\in\mathbb{R}\), không cần đk dương đúng không. Hôm qua thấy Thắng cmt nên chột dạ cho luôn \(x,y,z>0\)
Lời giải:
BĐT Cauchy-Schwarz và BĐT AM-GM ngược dấu với hai số vẫn luôn đúng cho trường hợp số thực: \(xy\leq \left(\frac{x+y}{2}\right)^2\Leftrightarrow (x-y)^2\geq 0\) \(\forall x,y\in\mathbb{R}\)
Giờ ghép cặp thôi:
\((3x+3y)(2x+2z)\leq \left(\frac{5x+3y+2z}{2}\right)^2\)
\((3x+3y)(2y+2z)\leq \left(\frac{5y+3x+2z}{2}\right)^2\)
\((x+z)(y+z)\leq \left(\frac{x+y+2z}{2}\right)^2\)
Bất kể vế trái có thừa số âm thừa số dương nhưng vì tích của \((x+y)(y+z)(z+x)>0\) nên khi nhân theo vế dấu không bị đổi, thu được:
\(47775744\leq (5x+3y+2z)^2(5y+3x+2z)^2(x+y+2z)^2\)
\(\leq \left(\frac{8x+8y+4z}{2}\right)^4(x+y+2z)^2\Rightarrow 2985984\leq (2x+2y+z)^4(x+y+2z)^2\)
Áp dụng Cauchy-Schwarz:
\((x^2+y^2+z^2)\geq \frac{(x+y+2z)^2}{6}\)
\(4x^2+4y^2+z^2\geq \frac{(2x+2y+z)^2}{3}\)
Giờ thì tất cả đều dương rồi. AM-GM ba số:
\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(x+y+2z)^2}{6}+\frac{(2x+2y+z)^2}{6}+\frac{2x+2y+z)^2}{6}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(x+y+2z)^2(2x+2y+z)^4}{6^3}}\geq 72\)
