Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau ở E. Các tia phân giác của các góc ACE và DBE cắt nhau ở K. Chứng minh rằng \(\widehat{BKC}=\frac{\widehat{BAC}+\widehat{BDC}}{2}\) . A. B. C. D.
Đáp án đúng: Giải chi tiết:Hướng dẫn giải chi tiết Gọi G là giao điểm của CK và AE, H là giao điểm của BK và DE. Xét tam giác KGB và tam giác AGC và theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có:\(\left\{ \begin{align}& \widehat{K}+\widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{AGK} \\& \widehat{A}+\widehat{{{C}_{1}}}=\widehat{AGK} \\\end{align} \right.\Rightarrow \widehat{K}+\widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{A}+\widehat{{{C}_{1}}}\) (1) Xét tam giác KHC và tam giác DHB và theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có:\(\left\{ \begin{align}& \widehat{K}+\widehat{{{C}_{2}}}=\widehat{EHB} \\ & \widehat{D}+\widehat{{{B}_{2}}}=\widehat{EHB} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \widehat{K}+\widehat{{{C}_{2}}}=\widehat{D}+\widehat{{{B}_{2}}}\) (2) Do \(\widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{{{B}_{2}}}\) (BK là tia phân giác của góc DBA); \(\widehat{{{C}_{1}}}=\widehat{{{C}_{2}}}\) ( CK là tia phân giác của góc ACD). Nên cộng (1) với (2) ta được \(2\widehat{K}=\widehat{A}+\widehat{D}\), do đó \(\widehat{K}=\frac{\widehat{A}+\widehat{D}}{2}\) hay \(\widehat{BKC}=\frac{\widehat{BAC}+\widehat{BDC}}{2}\)(đpcm).