Đáp án:
Bài 1:
a) 1260
b) 660
c) 17640
d) 6
Bài 2:
a) 210
b) \(45{x^{20}}\)
c) \(252{x^5}\)
Giải thích các bước giải:
Bài 1:
a) Gọi số tự nhiên có 5 chữ số là \(\overline {abcde} \)
\(\overline {abcde} \) là số chẵn \( \Rightarrow e \in \left\{ {0;2;4;6} \right\}\).
TH1: \(e = 0 \Rightarrow \) Có 1 cách chọn e.
\(a \ne 0 \Rightarrow \) Có 6 cách chọn a.
Số cách chọn 3 chữ số còn lại là \(A_5^3 = 60\) cách.
\( \Rightarrow \) Có \(1.6.60 = 360\) số.
TH2: \(e \in \left\{ {2;4;6} \right\} \Rightarrow \) Có 3 cách chọn e.
\(a \ne 0,\,\,a \ne e \Rightarrow \) Có 5 cách chọn a.
Số cách chọn 3 chữ số còn lại là \(A_5^3 = 60\) cách.
\( \Rightarrow \) Có \(3.5.60 = 900\) số.
Vậy có \(360 + 900 = 1260\) số.
b) Gọi số tự nhiên có 5 chữ số là \(\overline {abcde} \)
\(\overline {abcde} \) chia hết cho 5 \( \Rightarrow e \in \left\{ {0;5} \right\}\).
TH1: \(e = 0 \Rightarrow \) Có 1 cách chọn e.
\(a \ne 0 \Rightarrow \) Có 6 cách chọn a.
Số cách chọn 3 chữ số còn lại là \(A_5^3 = 60\) cách.
\( \Rightarrow \) Có \(1.6.60 = 360\) số.
TH2: \(e = 5 \Rightarrow \) Có 1 cách chọn e.
\(a \ne 0,\,\,a \ne e \Rightarrow \) Có 5 cách chọn a.
Số cách chọn 3 chữ số còn lại là \(A_5^3 = 60\) cách.
\( \Rightarrow \) Có \(1.5.60 = 300\) số.
Vậy có \(360 + 300 = 660\) số.
c) Gọi số có 8 chữ số là \(\overline {{a_1}{a_2}...{a_8}} \).
TH1: \({a_1} = 6 \Rightarrow \) Có 1 cách chọn \({a_1}\).
Chọn 1 vị trí cho số 6 còn lại có 7 cách chọn.
Chọn 6 chữ số còn lại có \(6! = 720\) cách.
\( \Rightarrow \) Có \(7.720 = 5040\) số.
TH1: \({a_1} \ne 6,\,\,{a_1} \ne 0 \Rightarrow \) Có 5 cách chọn \({a_1}\).
Chọn 2 vị trí cho 2 số 6 có \(C_7^2 = 21\).
Chọn 5 chữ số còn lại có \(5! = 120\) cách.
\( \Rightarrow \) Có \(5.21.120 = 12600\) số.
Vậy có \(5040 + 12600 = 17640\) số.
d) Gọi số có 4 chữ số là \(\overline {abcd} \).
Chọn 2 vị trí cho số 1 có \(C_4^2 = 6\) cách.
Chọn 2 vị trí còn lại cho số 2 có 1 cách.
Vậy có 6 số thỏa mãn.
Bài 2:
\({\left( {{x^3} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{\left( {{x^3}} \right)}^{10 - k}}{{\left( {{x^{ - 2}}} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^{30 - 5k}}} \).
a) Số hạng không chứa x ứng với \(30 - 5k = 0 \Leftrightarrow k = 6\).
Vậy số hạng không chứa x là \(C_{10}^6 = 210\).
b) Số hạng không chứa \({x^{20}}\) ứng với \(30 - 5k = 20 \Leftrightarrow k = 2\).
Vậy số hạng chứa \({x^{20}}\) là \(C_{10}^2{x^{20}} = 45{x^{20}}\).
c) Tổng trên có 11 số hạng, do đó số hạng chính giữa là số hạng thứ \(\left[ {\frac{{11}}{2}} \right] + 1 = 6\).
Số hạng thứ 6 là số hạng chứa \({x^5}\), ứng với \(30 - 5k = 5 \Leftrightarrow k = 5\).
Vậy số hạng chính giữa là \(C_{10}^5.{x^5} = 252{x^5}\).
