Đáp án đúng:
Giải chi tiết:
a) Ta có  \(\widehat {DAC} = \widehat {DAB} + \widehat {BAC} = {90^ \circ } + \widehat {BAC};\widehat {BAE} = \widehat {EAC} + \widehat {BAC} = {90^ \circ } + \widehat {BAC}\)
Do đó \(\widehat {DAC} = \widehat {BAE}\) (tính chất bắc cầu).
Xét hai tam giác DAC và BAE có:
AD = AB; \(\widehat {DAC} = \widehat {BAE}\); AE = AC.
Do đó \(\Delta DAC = \Delta BAE\) (c.g.c)
b) Do \(\Delta DAC = \Delta BAE\) nên DC = BE(hai cạnh tương ứng), \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{B_1}}\) (hai góc tương ứng).
Gọi I là giao điểm của DC và BE, F là giao điểm của AB và DC.
Xét tam giác ADF ta có:  \(\widehat {{D_1}} + \widehat {{F_1}} = {90^0}\) (tam giác ADF vuông tại A).
Mà \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{B_1}};\,\,\,\,\widehat {{F_1}} = \widehat {{F_2}}\) (hai góc đối đỉnh)
\( \Rightarrow \widehat {{B_1}} + \widehat {{F_2}} = \widehat {{D_1}} + \widehat {{F_1}} = {90^0}.\)
Xét tam giác BFI có: \(\widehat {{B_1}} + \widehat {{F_2}} + \widehat {FIB} = {180^0}\) (tổng ba góc trong tam giác).
\( \Rightarrow \widehat {FIB} = {90^0}\) hay \(DC \bot BE\) (đpcm).
c. Xét \(\Delta BMK\) và \(\Delta CMA\) ta có:
\(BM = MC\,\,\,\left( {gt} \right);\,\,\widehat {BMK} = \widehat {AMC}\) (hai góc đối đỉnh) và  \(AK = MK\,\,\left( {gt} \right).\)
\( \Rightarrow \Delta BMK = \Delta CMA\,\,\,\left( {c.g.c} \right).\)
\( \Rightarrow BK = AC = AE\) (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {{A_2}} = \widehat K\) (hai góc tương ứng)  
Mà \(\widehat {{A_2}};\,\,\widehat K\) là hai góc so le trong nên BK // AC.
Ta có:  \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_3}} = {90^0};\,\,\,\widehat {{A_2}} + \widehat {{A_4}} = {90^0} \Rightarrow \widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} + \widehat {{A_3}} + \widehat {{A_4}} = \widehat {DAE} + \widehat {BAC} = {180^0}.\)
\(\widehat {ABK} + \widehat {BAC} = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía).
\( \Rightarrow \widehat {DAE} = \widehat {ABK}\,\,\left( { = {{180}^0} - \widehat {ABC}} \right).\)
Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta BAK\) có:
\(\begin{array}{l}AD = AE\,\,\left( {gt} \right)\\\widehat {DAE} = \widehat {ABK}\,\,\,\left( {cmt} \right)\\AE = BK\,\,\,\left( {gt} \right)\\\Rightarrow \Delta ADE = \Delta BAK\,\,\,\left( {c - g - c} \right).\end{array}\)
\( \Rightarrow \widehat {{A_1}} = \widehat {EDA}\). (Hai góc tương ứng bằng nhau).
Mà  \(\widehat {{A_3}} + \widehat {{A_1}} = {90^{0\,\,\,}}\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {{A_3}} + \widehat {EDA} = {90^0}.\)
Xét \(\Delta ADN\) có:  \(\widehat {{A_3}} + \widehat {EDA} + \widehat {DNA} = {180^0} \Rightarrow \widehat {DNA} = {90^0}.\)
\( \Rightarrow NK \bot DE\,\,\left( {dpcm} \right).\)