Giải thích các bước giải:
a, Xét tứ giác ADHE có 3 góc vuông ($\widehat{A}$, $\widehat{D}$, $\widehat{E}$)
⇒ ADHE là hình chữ nhật mà AH, DE là 2 đường chéo
⇒ AH = DE (đpcm)
b, HD ⊥ AB và AC ⊥ AB ⇒ HD ║ AC
⇒ $\widehat{PHD}$ = $\widehat{HCA}$ (đồng vị)
ΔDBH vuông tại D có DP là trung tuyến ứng với cạnh huyền
⇒ DP = PH ⇒ ΔDPH cân tại P
⇒ $\widehat{PHD}$ = $\widehat{PDH}$
ADHE là hình chữ nhật ⇒ $\widehat{ADE}$ = $\widehat{AHE}$
mà $\widehat{AHE}$ = $\widehat{HCA}$ (cùng phụ với $\widehat{HAE}$)
⇒ $\widehat{ADE}$ = $\widehat{HCA}$ = $\widehat{PHD}$ = $\widehat{PDH}$
Ta có: $\widehat{ADE}$ + $\widehat{EDH}$ = $90^{o}$
⇒ $\widehat{PDH}$ + $\widehat{EDH}$ = $90^{o}$
⇒ $\widehat{PDE}$ = $90^{o}$ ⇒ DP ⊥ DE
Chứng minh tương tự ta có EQ ⊥ DE
⇒ Tứ giác DEQP là hình thang vuông tại D và E (đpcm)
c, Xét ΔHAC có O là trung điểm của HA, Q là trung điểm của HC
⇒ OQ là đường trung bình ⇒ OQ ║ AC ⇒ OQ ⊥ AB
Xét ΔABQ có QO, AH là 2 đường cao cắt nhau tại O
⇒ O là trực tâm ΔABQ (đpcm)
d, Ta có:
$S_{ABC}$ = $\frac{1}{2}$.AH.BC = PQ.AH (1)
$S_{DEQP}$ = $\frac{1}{2}$.(DP + EQ).DE = $\frac{1}{2}$.(DP + EQ).AH = $\frac{1}{2}$.(HP + HQ)AH = $\frac{1}{2}$.PQ.AH (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $S_{ABC}$ = 2.$S_{DEQP}$ (đpcm)
