Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, \(SA\bot \left( ABCD \right),SA=AC\). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng: A. \(2a\sqrt{2}\)
Đáp án đúng: C Giải chi tiết: Do \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\) nên \(AC=\sqrt{A{{D}^{2}}+D{{C}^{2}}}=2a\sqrt{2}.\) Do đó \(SA=2a\sqrt{2}.\) Do \(SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SA\bot AC.\) Do đó \(\Delta SAC\) là tam giác vuông cân. Gọi \(H\) là trung điểm của \(SC.\) Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD.\) Khi đó \(OH\) là đường trung bình của \(\Delta SAC.\) Do đó \(HO//SA.\) Kết hợp với \(SA\bot \left( ABCD \right)\) ta nhận được \(HO\bot \left( ABCD \right).\) Vì vậy \(HO\bot AC,\,HO\bot BD.\) Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông \(\Delta HOA,\Delta HOB\) ta có \(H{{B}^{2}}=H{{O}^{2}}+O{{B}^{2}}=H{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}=H{{A}^{2}}.\) Tương tự ta có \(HA=HB=HC=HD=HS.\) Vậy \(H\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp \(S.ABCD.\) Ta có \(AH=\frac{1}{2}SC=\frac{1}{2}\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( 2a\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( 2a\sqrt{2} \right)}^{2}}}=2a.\) Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp \(S.ABCD\)là \(2a.\) Chọn đáp án C.