Áp dụng bất đẳng thức: a+b≥$\sqrt[]{ab}$
1+$\frac{x}{y}$ ≥ 2$\sqrt[]{\frac{x}{y}}$ (1)
1+$\frac{y}{z}$ ≥ 2$\sqrt[]{\frac{y}{z}}$ (2)
1+$\frac{z}{x}$ ≥ 2$\sqrt[]{\frac{z}{x}}$ (3)
Nhân vế theo vế (1); (2); (3) ta được:
(1+$\frac{x}{y}$ ).(1+$\frac{y}{z}$).(1+$\frac{y}{z}$)≥ 2$\sqrt[]{\frac{x}{y}}$.2$\sqrt[]{\frac{y}{z}}$.2$\sqrt[]{\frac{z}{x}}$
⇔ (1+$\frac{x}{y}$ ).(1+$\frac{y}{z}$).(1+$\frac{y}{z}$)≥ 8.$\sqrt[]{\frac{xyz}{xyz}}$
⇔ (1+$\frac{x}{y}$ ).(1+$\frac{y}{z}$).(1+$\frac{y}{z}$)≥ 8
Dấu "=" xảy ra khi $\frac{x}{y}$=1
$\frac{y}{z}$=1
$\frac{z}{x}$=1
⇒ x=y=z=1
