Đáp án:
Không có đáp án
Giải thích các bước giải:
Ta có: \(y' = {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3\left( {m + 2} \right)\)
\(\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 3\left( {m + 2} \right)\) \( = {m^2} + 2m + 1 - 3m - 6 = {m^2} - m - 5\)
TH1: \(y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow {m^2} - m - 5 \le 0\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{1 - \sqrt {21} }}{2} \le m \le \dfrac{{1 + \sqrt {21} }}{2}\)
Khi đó hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nên cùng đồng biến trên \(\left( {3; + \infty } \right)\).
TH2: \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{{1 + \sqrt {21} }}{2}\\m < \dfrac{{1 - \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\)
Khi đó \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).
Hàm số đồng biến trên \(\left( {3; + \infty } \right)\) \( \Leftrightarrow {x_1} < {x_2} < 3\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\\dfrac{S}{2} < 3\\a.f\left( 3 \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{{1 + \sqrt {21} }}{2},m < \dfrac{{1 - \sqrt {21} }}{2}\\m + 1 < 3\\{1.3^2} - 2\left( {m + 1} \right).3 + 3\left( {m + 2} \right) > 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{{1 + \sqrt {21} }}{2},m < \dfrac{{1 - \sqrt {21} }}{2}\\m < 2\\ - 3m + 9 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{{1 + \sqrt {21} }}{2},m < \dfrac{{1 - \sqrt {21} }}{2}\\m < 2\\m < 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow m < \dfrac{{1 - \sqrt {21} }}{2}\)
Kết hợp với trường hợp 1 ta được \(m \le \dfrac{{1 + \sqrt {21} }}{2}\).
