Đáp án đúng:
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.
Giải chi tiết:Đặt \({A_n} = {5.2^{3n - 2}} + {3^{3n - 1}}\).
Bước 1: Với \(n = 1\), ta có \({A_1} = {5.2^1} + {3^2} = 19\,\, \vdots \,\,19\) (Đúng)
Như vậy mệnh đề đúng khi \(n = 1\).
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k \ge 1\), ta có \({A_k} = \left( {{{5.2}^{3k - 2}} + {3^{3k - 1}}} \right)\,\, \vdots \,\,19\) (Giả thiết quy nạp).
Ta chứng minh \({A_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,19\,\,\,\left( 2 \right)\).
Thật vậy, ta có
\(\begin{array}{l}{A_{k + 1}} = {5.2^{3k + 1}} + {3^{3k + 2}} = {5.2^3}{.2^{3k - 2}} + {3^3}{.3^{3k - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {8.5.2^{3k - 1}} + {8.3^{3k - 1}} + {19.3^{3k - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 8\left( {{{5.2}^{3k - 1}} + {3^{3k - 1}}} \right) + {19.3^{3k - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 8{A_k} + {19.3^{3k - 1}}\end{array}\)
Theo giả thiết quy nạp \({A_k}\,\, \vdots \,\,19 \Rightarrow 8{A_k}\,\, \vdots \,\,19\), lại thấy \({19.3^{3k - 1}}\,\, \vdots \,\,19\) nên \({A_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,19\).
Kết luận chia hết cho \(19\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
