Cho dãy số \(({{u}_{n}})\)xác định bởi \(\left\{ \begin{align} & u_{1}=\frac{1}{2} \\ & {{u}_{n+1}}=\frac{1}{2-{{u}_{n}}},\,\,\left( n\ge 1 \right) \end{align} \right.\,\,\). Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?A.Dãy \(({{u}_{n}})\)là dãy giảm tới 1 khi \(n\to +\infty \).

songsong31102017

2 năm trước

Cho dãy số \(({{u}_{n}})\)xác định bởi \(\left\{ \begin{align} & u_{1}=\frac{1}{2} \\ & {{u}_{n+1}}=\frac{1}{2-{{u}_{n}}},\,\,\left( n\ge 1 \right) \end{align} \right.\,\,\). Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.Dãy \(({{u}_{n}})\)là dãy giảm tới 1 khi \(n\to +\infty \).
B.Dãy \(({{u}_{n}})\)là dãy tăng tới 1 khi \(n\to +\infty \).
C. Không tồn tại giới hạn của dãy \(({{u}_{n}})\).
D. Cả 3 đáp án trên đều sai.

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 23 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

Duytung123

Đáp án đúng: B
Giải chi tiết:\(({u_n}):\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{ccccc}u{ _1} = \dfrac{1}{2}\\{u_{n + 1}} = \dfrac{1}{{2 - {u_n}}},\,\,(n \ge 1)\end{array} \right.\,\,\)
\(\begin{align} & {{u}_{2}}=\frac{1}{2-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}=\frac{2}{2+1} \\ & {{u}_{3}}=\frac{1}{2-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}=\frac{3}{3+1} \\\end{align}\)
Chứng minh bằng quy nạp: \({{u}_{n}}=\frac{n}{n+1},\,\,\forall n=1;2;...\,\,\,\,(*)\)
* Với \(n=1,\,n=2\): (*) đúng
* Giả sử (*) đúng với \(n=k\), tức là \({{u}_{k}}=\frac{k}{k+1}\) , ta chứng minh (*) đúng với \(n=k+1\) , tức là cần chứng minh \({{u}_{k+1}}=\frac{k+1}{k+2}\)
Ta có: \({{u}_{k+1}}=\frac{1}{2-{{u}_{k}}}=\frac{1}{2-\frac{k}{k+1}}=\frac{1}{\frac{2k+2-k}{k+1}}=\frac{k+1}{k+2}\)
Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được (*) đúng với mọi n = 1, 2, …
Như vậy, công thức tổng quát của dãy \(({{u}_{n}})\)là: \({{u}_{n}}=\frac{n}{n+1},\,\,\forall n=1;2;...\,\,\,\,(*)\)
Từ (*) ta có \({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\dfrac{n+1}{n+2}-\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{{{n}^{2}}+2n+1-{{n}^{2}}-2n}{\left( n+2 \right)\left( n+1 \right)}=\dfrac{1}{\left( n+2 \right)\left( n+1 \right)}>0\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\) là dãy tăng và \(\lim {{u}_{n}}=\lim \frac{n}{n+1}=\lim \frac{1}{1+\frac{1}{n}}=1\Rightarrow \) \(({{u}_{n}})\) là dãy tăng tới 1 khi \(n\to +\infty \)
Chọn B.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Chất nào dưới đây không phản ứng với axit axetic
A.Cu(OH)2.
B.K2O.
C.NaHCO3.
D.NaCl.

Cho \({{u}_{n}}=\frac{1-4n}{5n}\). Khi đó \(\lim {{u}_{n}}\)bằng?
A.\(\frac{1}{5}.\)
B.\(-\frac{4}{5}.\)
C. \(\frac{4}{5}.\)
D. \(-\frac{1}{5}.\)

Cho \({{u}_{n}}=\frac{{{n}^{2}}-3n}{1-4{{n}^{2}}}\). Khi đó \(\lim {{u}_{n}}\)bằng?
A.\(1.\)
B. \(-\frac{1}{4}.\)
C. \(\frac{4}{5}.\)
D. \(-\frac{3}{4}.\)

Cho \({{u}_{n}}=\frac{{{3}^{n}}+{{5}^{n}}}{{{5}^{n}}}\). Khi đó \(\lim {{u}_{n}}\)bằng?
A. \(0.\)
B.\(1.\)
C. \(\frac{3}{5}.\)
D. \(+\infty .\)

Trong các giới hạn sau giới hạn nào bằng -1?
A. \(\lim \frac{2{{n}^{2}}-3}{-2{{n}^{3}}-4}.\)
B. \(\lim \frac{2{{n}^{2}}-3}{-2{{n}^{2}}-1}.\)
C.\(\lim \frac{2{{n}^{2}}-3}{2{{n}^{2}}+1}.\)
D.\(\lim \frac{2{{n}^{3}}-3}{2{{n}^{2}}-1}.\)

Dãy số nào dưới đây có giới hạn bằng \(+\infty \)?
A. \({{u}_{n}}=\frac{{{n}^{2}}-2n}{5n+5{{n}^{2}}}.\)
B. \({{u}_{n}}=\frac{1+{{n}^{2}}}{5n+5}.\)
C.\({{u}_{n}}=\frac{1+2n}{5n+5{{n}^{2}}}.\)
D. \({{u}_{n}}=\frac{1-{{n}^{2}}}{5n+5}.\)

Giới hạn \(\lim \frac{{{\left( 2-5n \right)}^{3}}{{\left( n+1 \right)}^{2}}}{2-25{{n}^{5}}}\)bằng?
A.\(-4.\)
B. \(-1.\)
C.\(5.\)
D. \(-\frac{3}{2}.\)

Giới hạn \(\lim \frac{\sqrt{{{n}^{2}}-3n-5}-\sqrt{9{{n}^{2}}+3}}{2n-1}\)bằng?
A. \(\frac{5}{2}.\)
B. \(\frac{-5}{2}.\)
C. \(1.\)
D. \(-1.\)

Giới hạn \(\lim \left( \sqrt{{{n}^{2}}-n}-n \right)\)bằng?
A. \(-\infty .\)
B.\(-\frac{1}{2}.\)
C.\(0.\)
D.\(+\infty .\)

Cho dãy số \(({{u}_{n}})\)với \({{u}_{n}}=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+...+\frac{1}{\left( 2n-1 \right).\left( 2n+1 \right)}\). Khi đó \(\lim {{u}_{n}}\)bằng?
A.\(\frac{1}{2}.\)
B.\(\frac{1}{4}.\)
C. \(1.\)
D.\(2.\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến