Lời giải:

a) Gọi giao của hai đường chéo là $I$ thì $I$ là trung điểm của $AD$ và $BC$

Do đó, $A,G,I,D$ thẳng hàng. Áp dụng tính chất của đường trung tuyến:

$\bullet \overrightarrow{GA}=\frac{-1}{3}\overrightarrow{AD}$

$\bullet \overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}$

$\bullet \overrightarrow{GD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{GD}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{AB}$

b) Áp dụng công thức phần a:

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{AD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{AD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{GM}-\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{DM}=\overrightarrow{BD}$

Do đó $M$ là điểm nằm trên đường thằng $BD$ sao cho $D$ là trung điểm của $BM$