Đáp án đúng: B
Giải chi tiết:
Gọi \({{h}_{1}};{{h}_{2}}\) lần lượt là các khoảng cách từ hai đỉnh B; A đến m.
Kẻ \(BQ\bot m;\,\,AP\bot m;\,\,DS\bot m;\,\,CR\bot m.\)
Khi đó \(AP;\,\,BQ;\,\,CR;\,\,DS\) lần lượt là khoảng cách từ các đỉnh
\(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\) đến đường thẳng \(m.\)
Gọi S là tổng các khoảng cách cần tìm.\(\Rightarrow S=AP+BQ+CR+D\text{S}.\)
Dễ chứng minh \(AM=CN\) (đối xứng qua O)
Vì O là tâm của hình vuông \(ABCD\Rightarrow OM=ON.\)
Ta có: \(CR\bot m;AP\bot m\Rightarrow CR\parallel AP\) ( định lí từ vuông góc đến song song)
Ta có: \(\widehat{AMP}=\widehat{CNR}\) ( hai góc nhọn có cạnh tương ứng song song)
Xét tam giác vuông AMP và tam giác vuông CNR có:\(\left\{ \begin{align} & AM=CN \\ & \widehat{AMP}=\widehat{CNR} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \Delta AMP=\Delta CNR\)
Suy ra \(AP=CR={{h}_{2}}\) (hai cạnh tương ứng)
Tương tự ta có: \(BQ=DS={{h}_{1}}\)
Ta có: \({{S}_{OAB}}=\frac{1}{4}{{a}^{2}}\)(tính chất của hình vuông).
\(\begin{align} & {{S}_{OAB}}={{S}_{OAM}}+{{S}_{OBM}}=\frac{1}{2}\left( AP.OM+BQ.OM \right) \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{1}{2}OM.\left( AP+BQ \right)=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}MN\left( {{h}_{1}}+{{h}_{2}} \right)=\frac{1}{4}b\left( {{h}_{1}}+{{h}_{2}} \right). \\ & \Rightarrow \frac{1}{4}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}b\left( {{h}_{1}}+{{h}_{2}} \right) \\ & \Rightarrow {{h}_{1}}+{{h}_{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{b} \\ & \Rightarrow S=2\left( {{h}_{1}}+{{h}_{2}} \right)=\frac{2{{a}^{2}}}{b}. \\ \end{align}\)
Chọn B
