Đáp án: GTNN của f(x) là $2\sqrt {10} $ khi và chỉ khi $x = \frac{{\sqrt {10} - 2}}{2}$
Giải thích các bước giải:
$\begin{array}{l}
f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + 4x + 7}}{{x + 1}}\\
= \frac{{2{x^2} + 4x + 2 + 5}}{{x + 1}}\\
= \frac{{2\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 5}}{{x + 1}}\\
= \frac{{2{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 5}}{{x + 1}}\\
= 2\left( {x + 1} \right) + \frac{5}{{x + 1}}\\
Do:x > - 1 \Rightarrow x + 1 > 0\\
Theo\,Co - si:2\left( {x + 1} \right) + \frac{5}{{x + 1}} \ge 2\sqrt {2\left( {x + 1} \right).\frac{5}{{x + 1}}} = 2\sqrt {10} \\
Dấu\, = \,xảy\,ra \Leftrightarrow 2\left( {x + 1} \right) = \frac{5}{{x + 1}}\\
\Rightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = \frac{5}{2}\\
\Rightarrow x + 1 = \frac{{\sqrt {10} }}{2}\\
\Rightarrow x = \frac{{\sqrt {10} - 2}}{2}\left( {tm} \right)
\end{array}$
Vậy GTNN của f(x) là $2\sqrt {10} $ khi và chỉ khi $x = \frac{{\sqrt {10} - 2}}{2}$
