Giải thích các bước giải:
a, Tứ giác AECP có 2 đường chéo AC, EP cắt nhau tại N là trung điểm mỗi đường
⇒ AECP là hình bình hành
Mặt khác E đối xứng với P qua N ⇒ EP ⊥ AC
⇒ Hình bình hành AECP là hình thoi (đpcm)
b, AECP là hình thoi ⇒ AE ║ BC ⇒ AF ║ BH ⇒ $\widehat{MBH}$ = $\widehat{MAF}$
Xét ΔBMH và ΔAMF có:
BM = AM (gt); $\widehat{BMH}$ = $\widehat{AMF}$ (đối đỉnh); $\widehat{MBH}$ = $\widehat{MAF}$
⇒ ΔBMH = ΔAMF (g.c.g) ⇒ BH = AF
Tứ giác AHBF có BH = AF, BH ║ AF ⇒ AHBF là hình bình hành
Lại có $\widehat{BHA}$ = $90^{o}$ ⇒ AHBF là hình chữ nhật (đpcm)
c, Xét tứ giác ABPE có AB ║ PE (cùng ⊥ AC) và AE ║ BP
⇒ ABPE là hình bình hành ⇒ AP, BE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (1)
Xét tứ giác AMPN có 3 góc vuông ⇒ AMPN là hình chữ nhật
⇒ AP, MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AP, BE, MN đồng quy (đpcm)
d, Tứ giác ECHF có EF ║ HC nên là hình thang
Để hình thang ECHF là hình bình hành thì EF = HC
Mà AE = CP (AECP là hình thoi)
⇒ AF = HP mà AF = HB ⇒ HP = HB hay H là trung điểm của BP
Khi đó ΔAPB có AH vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên ΔAPB vân tại A
Mà ΔAPB cân tại P (do PB = PA) nên ΔAPB đều
⇔ $\widehat{APB}$ = $60^{o}$
Vậy để ECHF là hình bình hành thì ΔABC vuông tại A có $\widehat{B}$ = $60^{o}$
