Cho hàm số \(y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+3x+1\) có đồ thị \(\left( C \right).\) Có tất cả bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) song song với đường thẳng \(y=3x+2018\) ? A.2 B.3 C.1 D.4
Đáp án đúng: B Giải chi tiết:Ta có : \(y'=4{{x}^{3}}-4x+3.\) Gọi \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in \left( C \right)\). Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là : \(y=y'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\) \(\begin{align} & \Leftrightarrow y=\left( 4x_{0}^{3}-4{{x}_{0}}+3 \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{4}-2x_{0}^{2}+3 \\ & \Leftrightarrow y=\left( 4x_{0}^{3}-4{{x}_{0}}+3 \right)x-4x_{0}^{4}+4x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}+x_{0}^{4}-2x_{0}^{2}+3 \\ & \Leftrightarrow y=\left( 4x_{0}^{3}-4{{x}_{0}}+3 \right)x-3x_{0}^{4}+2x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}+3. \\ \end{align}\) Tiếp tuyến của đồ thì (C) song song với đường thẳng \(y=3x+2018\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x_0^3 - 4{x_0} + 3 = 3\\ - 3x_0^4 + 2x_0^2 + 3{x_0} + 3 \ne 2018\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}{x_0} = - 1\\{x_0} = 0\\{x_0} = 1\end{array} \right.\\ - 3x_0^4 + 2x_0^2 + 3{x_0} + 3 \ne 2018\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = - 1\\{x_0} = 0\\{x_0} = 1\end{array} \right.\) Vậy có tất cả 3 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B