Giải thích các bước giải:
a, K đối xứng với H qua I ⇒ I là trung điểm của KH
Tứ giác BHCK có 2 đường chéo BC và HK
cắt nhau tại I là trung điểm của mỗi đường
⇒ BHCK là hình bình hành.
Gọi F = HM ∩ BC
M đối xứng với H qua BC ⇒ BC là đường trung trực của HM
⇒ F là trung điểm của HM và HC = CM (1)
Lại có BHCK là hình bình hành ⇒ HC = BK (2)
Từ (1) và (2) ⇒ BK = CM
ΔHMK có F là trung điểm của HM, I là trung điểm của HK
⇒ FI là đường trung bình
⇒ FI ║ MK hay BC ║ MK
⇒ Tứ giác BCKM là hình thang
Mà BK = CM (cmt)
⇒ Tứ giác BCKM là hình thang cân.
b, BHCK là hình bình hành (câu a) ⇒ BK ║ CH, CK ║ BH
Mà BH ⊥ AC, CH ⊥ AB ⇒ BK ⊥ AB, CK ⊥ AC
⇒ ΔABK vuông tại B, ΔACK vuông tại C
Xét ΔABK vuông có BO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AK
⇒ BO = OA = OK
Tương tự ta có ΔACK vuông có CO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AK
⇒ CO = OA = OK
Suy ra: OA = OB = OC
⇒ O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC (đpcm)
c, Gọi N là trung điểm của AH
Xét ΔKAH có N là trung điểm của AH, I là trung điểm của HK
⇒ NI là đường trung bình của ΔKAH
⇒ NI ║ AK
Vì IE và ID là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC
của các tam giác vuông: ΔBCE và ΔBCD ⇒ ID = IE = IB = IC
⇒ I thuộc đường trung trực của DE
Tương tự ta chứng minh được N thuộc đường trung trực của DE
⇒ IN là đường trung trực của DE
⇒ IN ⊥ DE
Mà AK ║ IN (cmt)
⇒ AK ⊥ DE (đpcm)
